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2018年河北单招数学(理科)模拟试题【含答案】

第ⅰ卷

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知复数

，则

( )

a．-1 b．1 c．

 d．

2.设全集

，集合

，则

( )

a．

 b．

c．

 d．

3.某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为0.8，0.7，0.6，只有通过前一天才能进入下一关，且通过每关相互独立.一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为( )

a．0.56 b．0.336 c．0.32 d．0.224

4.

的内角

，

，

所对的边分别为

，

，

.已知

，

，且

，则

( )

a．6 b．

 c．

 d．7

5.如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )

a．4 b．5 c．6 d．7

6.若函数

在

上是增函数，则

的取值范围为( )

a．

 b．

 c．

 d．

7.记不等式组

，表示的平面区域为

，点

的坐标为

.有下面四个命题：

：

，

的最小值为6；

：

，

；

：

，

的最大值为6；

：

，

.

其中的真命题是( )

a．

，

 b．

，

 c．

，

 d．

，

8.若

的展开式中

的系数为80，其中

为正整数，则

的展开式中各项系数的绝对值之和为( )

a．32 b．81 c．243 d．256

9.我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于买田的问题：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百.今并买一顷，价钱一万.问善、恶田各几何？”其意思为：“今有好田1亩价值300钱；坏田7亩价值500钱.今合买好、坏田1顷，价值10000钱.问好、坏田各有多少亩？”已知1顷为100亩，现有下列四个程序框图，其中

的单位为钱，则输出的

，

分别为此题中好、坏田的亩数的是( )

a． b． c． d．

10.若仅存在一个实数

，使得曲线

：

关于直线

对称，则

的取值范围是( )

a．

 b．

 c．

 d．

11.设正三棱锥

的高为

，且此棱锥的内切球的半径为

，若二面角

的正切值为

，则

( )

a．5 b．6 c．7 d．8

12.设双曲线

：

的左顶点与右焦点分别为

，

，以线段

为底边作一个等腰

，且

边上的高

.若

的垂心恰好在

的一条渐近线上，且

的离心率为

，则下列判断正确的是( )

a．存在唯一的

，且

b．存在两个不同的

，且一个在区间

内，另一个在区间

内

c．存在唯一的

，且

d．存在两个不同的

，且一个在区间

内，另一个在区间

内

第ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13.在平行四边形

中，若

，则

 ．

14.若圆

：

的圆心为椭圆

：

的一个焦点，且圆

经过

的另一个焦点，则圆

的标准方程为 ．

15.若

，

，则

 ．

16.已知集合

，

，

，若集合

的子集的个数为8，则

的取值范围为 ．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(一)必考题：共60分.

17.已知数列

，

的前

项和分别为

，

，

，且

.

(1)求

；

(2)求数列

的前

项和

.

18.某大型超市在2018年元旦举办了一次抽奖活动，抽奖箱里放有3个红球，3个黄球和1个蓝球(这些小球除颜色外大小形状完全相同)，从中随机一次性取3个小球，每位顾客每次抽完奖后将球放回抽奖箱.活动另附说明如下：

①凡购物满100(含100)元者，凭购物打印凭条可获得一次抽奖机会；

②凡购物满188(含188)元者，凭购物打印凭条可获得两次抽奖机会；

③若取得的3个小球只有1种颜色，则该顾客中得一等奖，奖金是一个10元的红包；

④若取得的3个小球有3种颜色，则该顾客中得二等奖，奖金是一个5元的红包；

⑤若取得的3个小球只有2种颜色，则该顾客中得三等奖，奖金是一个2元的红包.

抽奖活动的组织者记录了该超市前20位顾客的购物消费数据(单位：元)，绘制得到如图所示的茎叶图.

(1)求这20位顾客中奖得抽奖机会的顾客的购物消费数据的中位数与平均数(结果精确到整数部分)；

(2)记一次抽奖获得的红包奖金数(单位：元)为

，求

的分布列及数学期望，并计算这20位顾客(假定每位获得抽奖机会的顾客都会去抽奖)在抽奖中获得红包的总奖金数的平均值.

19.如图，在各棱长均为2的正三棱柱

中，

，

分别为棱

与

的中点，

，

为线段

上的动点，其中，

更靠近

，且

.

(1)证明：

平面

；

(2)若

与平面

所成角的正弦值为

，求异面直线

与

所成角的余弦值.

20.已知

，抛物线

：

与抛物线

：

异于原点

的交点为

，且抛物线

在点

处的切线与

轴交于点

，抛物线

在点

处的切线与

轴交于点

，与

轴交于点

.

(1)若直线

与抛物线

交于点

，

，且

，求

；

(2)证明：

的面积与四边形

的面积之比为定值.

21.已知函数

，

.

(1)比较

与

的大小，并加以证明；

(2)当

时，

，且

，证明：

.

(二)选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2b铅笔将所选题目对应的题号右侧方框涂黑，并且在解答过程中写清每问的小题号.

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系

中，曲线

的参数方程为

(

为参数，且

)，以坐标原点为极点，

轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线

的极坐标方程为

.

(1)将曲线

的参数方程化为普通方程，并将曲线

的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)求曲线

与曲线

交点的极坐标

.

23.[选修4-5：不等式选讲]

已知函数

.

(1)求不等式

的解集；

(2)若直线

与函数

的图象有公共点，求

的取值范围.

2018年河北单招数学(理科)模拟试题参考答案

一、选择题

1-5: abdac 6-10: accbd 11、12：ca

二、填空题

13. 2 14.

 15. 2 16.

三、解答题

17.解：(1)依题意可得

，

，…，

，

∴

.

(2)∵

，∴

，

∴

.

又

，∴

.

∴

，

∴

，则

，

∴

，

故

.

18.解：(1)获得抽奖机会的数据的中位数为110，

平均数为

.

(2)

的可能取值为2，5，10，

，

，

，

则

的分布列为2510

故

.

这20位顾客中，有8位顾客获得一次抽奖的机会，有3位顾客获得两次抽奖的机会，

故共有14次抽奖机会.

所以这20位顾客在抽奖中获得红包的总奖金数的平均值为

元.

19.解：(1)证明：由已知得

为正三角形，

为棱

的中点，

∴

，

在正三棱柱

中，

底面

，则

.

又

，∴

平面

，∴

.

易证

，又

，∴

平面

.

(2)解：取

的中点

，

的中点

，则

，

，

以

为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系

，

则

，

，

，

，

设

，

则

，

易知

是平面

的一个法向量，

∴

，解得

.

∴

，

，

，，

∴

，

∴异面直线

与

所成角的余弦值为

.

20.(1)解：由

，消去

得

.

设

，

的坐标分别为

，

，

则

，

.

∴

，∵

，∴

.

∴

.

(2)证明：由

，得

或

，则

.

设直线

：

，与

联立得

.

由

，得

，∴

.

设直线

：

，与

联立得

.

由

，得

，∴

.

故直线

：

，直线

：

，

从而不难求得

，

，

，

∴

，

，∴

的面积与四边形

的面积之比为

(为定值).

21.(1)解：

.

证明如下：

设

，∵

为增函数，

∴可设

，∵

，

，∴

.

当

时，

；当

时，

.

∴

，

又

，∴

，

∴

.

∵

，∴

，

∴

，

.

(2)证明：设

，

令

，得

，

，

则

在

上单调递增，在

上单调递减，在

上单调递增.

，设

，

∵

，

∴

，即

.

当

时，

，则

.

当

时，

，∵

，∴

，∴

.

当

或

时，不合题意.

从而

.

22.解：(1)∵

，∴

，即

，

又

，∴

，∴

或

，

∴曲线

的普通方程为

(

或

).

∵

，∴

，∴

，即曲线

的直角坐标方程为

.

(2)由

得

，

∴

(舍去)，

，

则交点的直角坐标为

，极坐标为

.

23.解：(1)由

，得

或

或

，

解得

，故不等式

的解集为

.

(2)

，

作出函数

的图象，如图所示，

直线

过定点

，

当此直线经过点

时，

；

当此直线与直线

平行时，

.

故由图可知，

.

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