【无标题】CINTA第五次作业同构

证明：命题9.1 .
命题9.1：

设 ϕ : G → H 从群 G 到群 H 的一种同构映射，则以下命题为真：

ϕ ⁻¹ : H → G 也是同构；
|G| = |H|；
如果 G 是阿贝尔群，则 H 也是阿贝尔群；
如果 G 是循环群，则 H 也是循环群；
如果 G 有阶为 n 的子群，则 H 也有阶为 n 的子群。
证明：

（1）即证明ϕ−1\phi ^{-1}ϕ−1 保持群操作：∀x,y∈H\forall x,y \in \mathbb{H}∀x,y∈H ，ϕ−1(x∘y)=ϕ−1(x)⋅ϕ−1(y)\phi^{-1}(x\circ y) = \phi^{-1}(x)\cdot \phi^{-1}(y)ϕ−1(x∘y)=ϕ−1(x)⋅ϕ−1(y) 。
ϕ(ϕ−1(x∘y))=x∘y=ϕ(ϕ−1(x))∘ϕ(ϕ−1(y))=ϕ(ϕ−1(x)⋅ϕ−1(y))\phi(\phi^{-1}(x \circ y)) = x \circ y = \phi(\phi^{-1} (x)) \circ \phi(\phi^{-1}(y)) = \phi(\phi^{-1}(x) \cdot \phi^{-1}(y))ϕ(ϕ−1(x∘y))=x∘y=ϕ(ϕ−1(x))∘ϕ(ϕ−1(y))=ϕ(ϕ−1(x)⋅ϕ−1(y)) ,
由于ϕ\phiϕ 为双射，所以ϕ−1(x∘y)=ϕ−1(x)⋅ϕ−1(y)\phi^{-1}(x\circ y) = \phi^{-1}(x)\cdot \phi^{-1}(y)ϕ−1(x∘y)=ϕ−1(x)⋅ϕ−1(y) 。证毕。
（2）证明：因为ϕ\phiϕ 为双射，G\mathbb{G}G 与H\mathbb{H}H 中的元素一一对应，所以∣G∣=∣H∣|\mathbb{G} | = | \mathbb{H} |∣G∣=∣H∣ 。
（3）证明：因为G\mathbb{G}G是阿贝群，群运算满足交换律，∀a,b∈G,a⋅b=b⋅a\forall a,b \in \mathbb{G} ,a \cdot b = b\cdot a∀a,b∈G,a⋅b=b⋅a .
ϕ(a⋅b)=ϕ(a)∘ϕ(b)\phi(a\cdot b) = \phi(a) \circ \phi(b)ϕ(a⋅b)=ϕ(a)∘ϕ(b) ,ϕ(b⋅a)=ϕ(b)∘ϕ(a)\phi(b\cdot a ) = \phi(b) \circ \phi (a)ϕ(b⋅a)=ϕ(b)∘ϕ(a) ;
所以ϕ(a)∘ϕ(b)=ϕ(b)∘ϕ(a)\phi(a) \circ \phi(b) = \phi(b) \circ \phi (a)ϕ(a)∘ϕ(b)=ϕ(b)∘ϕ(a) 。H\mathbb{H}H 也是阿贝尔群。
（4）证明：射ggg 为G\mathbb{G}G 的生成元，对于GGG 中的任意元素gmg^mgm ，有：
ϕ(gm)=ϕ(g)m\phi(g^m)=\phi(g)^mϕ(gm)=ϕ(g)m ,因为ϕ\phiϕ 为双射，所以ϕ(g)m\phi(g)^mϕ(g)m为H\mathbb{H}H 中的任意元素，所以H\mathbb{H}H 是循环群。
（5）证明：设G′\mathbb{G} 'G′ 为G\mathbb{G}G 的nnn 阶子群，∀a,b∈G′\forall a ,b \in \mathbb{G}'∀a,b∈G′ ，a−1,b−1,ab∈G′a^{-1} ,b^{-1} ,ab \in \mathbb{G}'a−1,b−1,ab∈G′ 。通过映射ϕ\phiϕ ，可得ϕ(a),ϕ(b),ϕ(a−1),ϕ(b−1),ϕ(ab)=ϕ(a)ϕ(b)\phi(a),\phi(b),\phi(a^{-1}),\phi(b^{-1}) ,\phi(ab) =\phi(a)\phi(b)ϕ(a),ϕ(b),ϕ(a−1),ϕ(b−1),ϕ(ab)=ϕ(a)ϕ(b) ，此外，对于单位元eee 有ϕ(e)\phi(e)ϕ(e) 。这些元素的集合构成H\mathbb{H}H 的子群H′\mathbb{H}'H′，满足群公理。且由(2) 可知H′\mathbb{H}'H′ 的阶为nnn 。

命题9.2：所有无限阶的循环群都同构于群 Z。
证明：设群 G 是一个无限阶的循环群，g ∈ G 是生成元。定义 ϕ : Z → G 为 ϕ : n → gⁿ。

则 ϕ(m + n) = g ^m+n = g ^mgⁿ = ϕ(m)ϕ(n)。然后，证明 ϕ 是双射。
（1）证明单射：任取a,b∈Za,b \in \mathbb{Z}a,b∈Z ，若ϕ(a)=ϕ(b)\phi(a) = \phi(b)ϕ(a)=ϕ(b) ，即ga=gbg^a = g^bga=gb ，因为G\mathbb{G}G 为无限循环群 ,所以a=ba =ba=b ，则ϕ\phiϕ是单射。

（2）证明满射：任取gx∈Gg^x \in \mathbb{G}gx∈G ,则存在x∈Zx \in \mathbb{Z}x∈Z ，使得ϕ(x)=gx\phi(x) = g^xϕ(x)=gx ，所以ϕ\phiϕ 是满射。
有（1）（2）可知，ϕ\phiϕ 是双射，命题得证。

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