与运算和取余运算的配对条件

偶然在一个算法解析中，看到作者用与运算来代替取余运算，感觉属实有点装逼，于是有了钻研一下的想法。
首先通过实验来看看，与运算和取余运算存在一个怎样的关系。

for i in range(100, 110):print(i, bin(i),i&1, i%2)
#结果
100 0b1100100 0 0
101 0b1100101 1 1
102 0b1100110 0 0
103 0b1100111 1 1
104 0b1101000 0 0
105 0b1101001 1 1
106 0b1101010 0 0
107 0b1101011 1 1
108 0b1101100 0 0
109 0b1101101 1 1for i in range(100, 110):print(i, bin(i),i&2, i%3)
#结果
100 0b1100100 0 1
101 0b1100101 0 2
102 0b1100110 2 0
103 0b1100111 2 1
104 0b1101000 0 2
105 0b1101001 0 0
106 0b1101010 2 1
107 0b1101011 2 2
108 0b1101100 0 0
109 0b1101101 0 1for i in range(100, 110):print(i, bin(i),i&3, i%4)
#结果
100 0b1100100 0 0
101 0b1100101 1 1
102 0b1100110 2 2
103 0b1100111 3 3
104 0b1101000 0 0
105 0b1101001 1 1
106 0b1101010 2 2
107 0b1101011 3 3
108 0b1101100 0 0
109 0b1101101 1 1for i in range(100, 110):print(i, bin(i),i&4, i%5)
#结果
100 0b1100100 4 0
101 0b1100101 4 1
102 0b1100110 4 2
103 0b1100111 4 3
104 0b1101000 0 4
105 0b1101001 0 0
106 0b1101010 0 1
107 0b1101011 0 2
108 0b1101100 4 3
109 0b1101101 4 4for i in range(100, 110):print(i, bin(i),i&5, i%6)
#结果
100 0b1100100 4 4
101 0b1100101 5 5
102 0b1100110 4 0
103 0b1100111 5 1
104 0b1101000 0 2
105 0b1101001 1 3
106 0b1101010 0 4
107 0b1101011 1 5
108 0b1101100 4 0
109 0b1101101 5 1

可以看到从2到6中，与运算和取余运算相等情况有：2取余和1与运算，4取余和3与运算。所以我们不妨大胆的做个假设：

存在正整数n，如果n与2是幂关系，那么对n求余等价于对(n-1)进行与运算。
大家可以多用代码跑一跑，在实验中可以证实其真实性，但是理论上是为什么呢？
其实很简单，主要分为两点：

假如m对n求余，那么这个余数肯定小于n，也就是最大为n-1；
举个具体的例子，将m表示为1100100（100），n表示为100（4），那么100可以换算成1*2⁶+1*2⁵+1*2²=100，对100取余等价于对100%4=1*2⁶%4+1*2⁵%4+1*2²%4，可以很简单的发现，对于1100100（100），只要比100（4）更高的位一定可以被4整除，所以关键就在于剩下的位，在本例中，4有3位，所以只看后3位就行，也就是100；
问题就来了，为什么100对011（3）进行与运算，就等于对4取余呢？其实答案到这里已经呼之欲出了，取余就是从100中每次取4份，最后剩下的，也就是算3(n-1)对应位的二进制值，本例中为00，这就是分完剩下的。说白了，与3与运算就是为了算最后两位对应的值。
最后我们来看看，有逼格的与运算是否在运算速度上会远远快于取余运算。

本例对[100, 10⁸)，共计99999900分别进行与运算和取余运算，结果如下：

#取余运算
import time
start_time = time.time()
for n in range(100, 10**8):temp = n % 4
print("耗时：", time.time()-start_time)# 结果
耗时： 4.623804330825806#与运算
start_time = time.time()
for n in range(100, 10**8):temp = n & 3
print("耗时：", time.time()-start_time)
耗时： 6.289257049560547

额，这是不是就尴尬了，与运算怎么逼格高了一些，运算速度反而不如取余运算，然而我用python来算事实就是如此，具体是不是python优化了取余运算我就不得而知了。

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