求最大公约数和最小公倍数——辗转相除法（欧几里得算法）、更相减损术、stein算法

辗转相除法——

辗转相除法求最大公约数的原理：

两个整数其中较小的数和两数相除（较大数除较小数）的余数（使用递归）的最大公约数。

辗转相除法求最小公倍数的原理：

两个整数分别除以最大公约数的结果相乘，再乘以最大公约数；

简化后即两个整数相乘再乘以最小公倍数。

代码示例如下：

#include<iostream>
using namespace std;// GCD:greatest common divisor
// LCM:least common multiple
//递归
int gcd(int m,int n)//最大公约数
{if (m % n == 0)return n;return gcd(n, m % n);
}int lcm(int m, int n)//最小公倍数
{return  m * n / gcd(m, n);
}int main()
{int m,n;//输入cin >> m >> n;//最大公约数int yue = gcd(m, n);//最小公倍数int bei = lcm(m, n);//输出cout << "最大公约数：" << yue << endl;cout << "最小公倍数：" << bei << endl;return 0;
}

输入：

12 16

输出：

最大公约数：4
最小公倍数：48

更相减损术——

更相减损术求最大公约数的原理：

两个整数其中较小数与两数相减（较大数减较小数）的差值（使用递归）的最大公约数。

更相减损术求最小公倍数的原理：

与辗转相除法相同。

代码示例如下：

#include<iostream>
using namespace std;// GCD:greatest common divisor
// LCM:least common multiple
int gcd(int a,int b)//最大公约数
{//首先判断大小，必须大的减小的；int m = a > b ? a : b;int n = a > b ? b : a;if ((m - n) == 0)return n;return gcd(n, m - n);
}int lcm(int m, int n)//最小公倍数
{return  m * n / gcd(m, n);
}int main()
{int m,n;//输入cin >> m >> n;//最大公约数int yue = gcd(m, n);//最小公倍数int bei = lcm(m, n);//输出cout << "最大公约数：" << yue << endl;cout << "最小公倍数：" << bei << endl;return 0;
}

输入：

9 12

输出：

最大公约数：3
最小公倍数：36

stein算法——

stein算法求最大公约数的原理：

若两个都是偶数，则都除2（即右移1位），并记录下公约数2；
若两个一奇一偶，则偶数除2（因为此时2不可能是这两个数的公约数了）；
若两个都是奇数，则使用更相减损术。

stein算法求最小公倍数的原理：

与辗转相除法相同。

代码示例如下：

#include<iostream>
#include<math.h>
using namespace std;// GCD:greatest common divisor
// LCM:least common multipleint stein_gcd(int a, int b)//最大公约数
{if ((a & 1) == 0 && (b & 1) == 0)return stein_gcd(a >> 1, b >> 1) << 1;else if ((a & 1) == 0 && (b & 1) != 0)return stein_gcd(a >> 1, b);else if ((a & 1) != 0 && (b & 1) == 0)return stein_gcd(a, b >> 1);else{//更相减损术int m = a > b ? a : b;int n = a > b ? b : a;if ((m - n) == 0)return n;return stein_gcd(n, m - n);}
}
int lcm(int m, int n)//最小公倍数
{return  m * n / stein_gcd(m, n);}int main()
{int m, n;int yue, bei;//输入cin >> m >> n;//最大公约数yue = stein_gcd(m, n);//最小公倍数bei = lcm(m, n);//输出cout << "最大公约数：" << yue << endl;cout << "最小公倍数：" << bei << endl;return 0;
}

输入：

14 6

输出：

最大公约数：2
最小公倍数：42

求最大公约数相关方法的复杂度计算：

1、暴力枚举法：O(min(m, n)))；

2、辗转相除法：取模运算性能较差，可以近似为O(log(max(m, n)))；

3、更相减损术：避免了取模运算，但是算法性能不稳定，最坏时间复杂度为O(max(m, n))；

4、 stein算法：不但避免了取模运算，而且算法性能稳定，时间复杂度为O(log(max(m, n)))。

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