在讲述算法之前，我们需要先学习几个概念。

中缀表示法

中缀表示法就是我们人书写表达式的方法，如8/4+3*(6-2)。

后缀表示法

后缀表示法是从中缀表示法转化过来的，它满足以下条件：

（1）操作数的顺序与中缀表达式一致。

（2）没有括号。

（3）操作符没有优先级之分。

例如上面的表达式，其后缀形式是：84/362-*+

后缀表达式的特点对计算机计算非常有利。

二元运算符

需要两个操作数的运算符，例如是加法、减法、乘法、乘方、大于、等于等。

一元运算符

只需要一个操作数的运算符，例如是负数、逻辑非、正弦、平方根等。

我们下面介绍的算法，将支持以下运算：

	数值运算	逻辑运算
二元	+ - * / %(求余) ^(乘方)	and or & \|
	e(科学计数法)	< > = != <= >=
一元	+ -	!
	sin cos tan asin acos atan
	sqrt lg

利用这些运算，如果希望增加其他运算，会是很容易的。

一、表达式预处理

预处理包括去除空白字符、转成小写、判断括号是否匹配，以及加入结束符。

private static string PreTreat(string exp)
{if (string.IsNullOrEmpty(exp)){throw new Exception("表达式为空");}exp = exp.Replace(" ", "").Replace("\t", "").Replace("\r", "").Replace("\n", "");if (string.IsNullOrEmpty(exp)){throw new Exception("表达式为空");}if (!IsBracketMatch(exp)){throw new Exception("左右括号不匹配");}exp = exp.ToLower();exp = exp + "@";return exp;
}

结束符的作用是不需要每次扫描都判断是否越界。假如我们的表达式是8.1*sqrt(4)/-4+3*(16-23)，经过预处理后，就变成了8.1*sqrt(4)/-4+3*(16-23)@。

二、元素切割

我们的表达式是一个字符串，由一个一个的字符组成，字符与字符之间并没有联系。我们需要把上面的字符串，变成以下的一个操作数和运算符分隔的列表：8.1，*，sqrt，(，4，)，/，-，4，+，3，(，16，-，23，)，@

切割的代码如下：

private static List<string> Segment(string exp)
{List<string> segments = new List<string>();int current = 0;int pre_type = 1;//上一个类型，1符号，2字母，3数字while (current < exp.Length){if (SPLIT_SYMBOL.Contains(exp[current])){segments.Add(exp[current].ToString());switch (exp[current]){case '<':switch (exp[current + 1]){case '>':case '=':segments[segments.Count - 1] += exp[current + 1];current++;break;}break;case '>':case '!':switch (exp[current + 1]){case '=':segments[segments.Count - 1] += exp[current + 1];current++;break;}break;}pre_type = 1;}else{int type = 3;if (LETTER.IsMatch(exp[current].ToString())){type = 2;}if (pre_type != type){segments.Add(exp[current].ToString());}else{segments[segments.Count - 1] += exp[current];}pre_type = type;}current++;}return segments;
}

三、转成后缀表示法

转换的方法如下：

（1）初始化一个堆栈和一个队列，堆栈存放中间过程，队列存放结果。（结果也可以用堆栈存放，不过要反过来装载一遍）
（2）从左到右读入中缀表达式，每次一个元素。
（3）如果元素是操作数，将它添加到结果队列。
（4）如果元素是个运算符，弹出运算符，直至遇见左括号、优先级较低的运算符。把这个运算符压入堆栈。
（5）如果元素是个左括号，把它压入堆栈。
（6）如果元素是个右括号，在遇见左括号前，弹出所有运算符，然后把它们添加到结果队列。
（7）如果到达输入字符串的末尾，弹出所有运算符并添加到结果队列。

代码如下：

private static Stack<object> Parse(List<string> segments)
{Stack<object> syntax = new Stack<object>();//语法单元堆栈Stack<object> operands = new Stack<object>();//操作数堆栈Stack<Operator> operators = new Stack<Operator>();//运算符堆栈bool pre_opt = true;//前一个符号是运算符for (int i = 0; i < segments.Count; i++){string ele = segments[i];if (ALL_OPERATOR.Contains(ele))//运算符{Operator opt = new Operator(ele, !pre_opt);pre_opt = true;//若当前运算符为结束运算符，则停止循环if (opt.Type == OperatorType.END){break;}//若当前运算符为左括号,则直接存入堆栈。if (opt.Type == OperatorType.LB){operators.Push(new Operator(OperatorType.LB));continue;}//若当前运算符为右括号,则依次弹出运算符堆栈中的运算符并存入到操作数堆栈,直到遇到左括号为止,此时抛弃该左括号.if (opt.Type == OperatorType.RB){while (operators.Count > 0){if (operators.Peek().Type != OperatorType.LB){operands.Push(operators.Pop());}else{operators.Pop();break;}}pre_opt = false;continue;}//若运算符堆栈为空,或者若运算符堆栈栈顶为左括号,则将当前运算符直接存入运算符堆栈.if (operators.Count == 0 || operators.Peek().Type == OperatorType.LB){operators.Push(opt);continue;}//若当前运算符优先级大于运算符栈顶的运算符,则将当前运算符直接存入运算符堆栈.if (opt.CompareTo(operators.Peek()) > 0){operators.Push(opt);}else{//若当前运算符若比运算符堆栈栈顶的运算符优先级低或相等，则输出栈顶运算符到操作数堆栈，直至运算符栈栈顶运算符低于（不包括等于）该运算符优先级，//或运算符栈栈顶运算符为左括号//并将当前运算符压入运算符堆栈。while (operators.Count > 0){if (opt.CompareTo(operators.Peek()) <= 0 && operators.Peek().Type != OperatorType.LB){operands.Push(operators.Pop());if (operators.Count == 0){operators.Push(opt);break;}}else{operators.Push(opt);break;}}}}else//操作数{operands.Push(ele);pre_opt = false;}}//转换完成,若运算符堆栈中尚有运算符时,//则依序取出运算符到操作数堆栈,直到运算符堆栈为空while (operators.Count > 0){operands.Push(operators.Pop());}//调整操作数栈中对象的顺序并输出到最终栈while (operands.Count > 0){syntax.Push(operands.Pop());}return syntax;
}

对于+、-符号的判断，我们采用以下方法：

（1）如果符号前是非右括号的运算符，则判定为正号、负号。

（2）除此，判定为加号、减号。

经过这一步骤后，上述的表达式转成如下的后缀表达式：

8.1，4，sqrt，*，4，-(负号)，/，3，16，23，-，*，+

四、对后缀表达式进行计算

后缀表达式的计算还是比较简单的，方法如下：

（1）初始化一个空堆栈。
（2）从左到右读入后缀表达式。
（3）如果字符是一个操作数，把它压入堆栈。
（4）如果字符是个运算符，弹出两个操作数，执行恰当操作，然后把结果压入堆栈。
（5）到后缀表达式末尾，从堆栈中弹出结果。

实现代码：

private static string Evaluate(Stack<object> syntax)
{if (syntax.Count == 0){return null;}Stack<string> opds = new Stack<string>();Stack<object> pars = new Stack<object>();string opdA, opdB;double numA = 0, numB = 0;string strA = "", strB = "";foreach (object item in syntax){if (item is string){opds.Push((string)item);}else{switch (((Operator)item).Type){//二元case OperatorType.POW://乘方case OperatorType.SCI://科学记数法case OperatorType.FIX://定点case OperatorType.MUL://乘case OperatorType.DIV://除case OperatorType.MOD://余case OperatorType.ADD://加case OperatorType.SUB://减case OperatorType.LT://小于case OperatorType.GT://大于case OperatorType.LE://小于等于case OperatorType.GE://大于等于opdA = opds.Pop();opdB = opds.Pop();if (!double.TryParse(opdA.ToString(), out numA) || !double.TryParse(opdB.ToString(), out numB)){throw new Exception("操作数必须均为数字");}break;case OperatorType.AND://与case OperatorType.OR://或opdA = opds.Pop();opdB = opds.Pop();strA = opdA.ToString().ToLower();strB = opdB.ToString().ToLower();if (strA == "1" || strA == "true"){strA = "1";}else if (strA == "0" || strA == "false"){strA = "0";}else{throw new Exception("操作数必须均为逻辑类型");}if (strB == "1" || strB == "true"){strB = "1";}else if (strB == "0" || strB == "false"){strB = "0";}else{throw new Exception("操作数必须均为逻辑类型");}break;case OperatorType.ET://等于case OperatorType.UT://不等于opdA = opds.Pop();opdB = opds.Pop();strA = opdA.ToString().ToLower();strB = opdB.ToString().ToLower();if (strA == "1" || strA == "true"){strA = "1";}else if (strA == "0" || strA == "false"){strA = "0";}if (strB == "1" || strB == "true"){strB = "1";}else if (strB == "0" || strB == "false"){strB = "0";}break;//一元case OperatorType.PS://正case OperatorType.NS://负case OperatorType.TAN://正切case OperatorType.ATAN://反正切case OperatorType.SIN://正弦case OperatorType.ASIN://反正弦case OperatorType.COS://余弦case OperatorType.ACOS://反余弦case OperatorType.SQRT://开平方case OperatorType.LG://对数opdA = opds.Pop();if (!double.TryParse(opdA.ToString(), out numA)){throw new Exception("操作数必须为数字");}break;case OperatorType.NOT://非opdA = opds.Pop();strA = opdA.ToString().ToLower();if (strA == "1" || strA == "true"){strA = "1";}else if (strA == "0" || strA == "false"){strA = "0";}else{throw new Exception("操作数必须为逻辑类型");}break;}switch (((Operator)item).Type){//二元case OperatorType.POW://乘方opds.Push(Math.Pow(numB, numA).ToString());break;case OperatorType.SCI://科学记数法opds.Push((numB * Math.Pow(10, numA)).ToString());break;case OperatorType.FIX://定点opds.Push(numB.ToString("F" + numA));break;case OperatorType.MUL://乘opds.Push((numB * numA).ToString());break;case OperatorType.DIV://除opds.Push((numB / numA).ToString());break;case OperatorType.MOD://余opds.Push((numB % numA).ToString());break;case OperatorType.ADD://加opds.Push((numB + numA).ToString());break;case OperatorType.SUB://减opds.Push((numB - numA).ToString());break;case OperatorType.AND://与if (strA == "1" && strB == "1"){opds.Push("1");}else{opds.Push("0");}break;case OperatorType.OR://或if (strA == "1" || strB == "1"){opds.Push("1");}else{opds.Push("0");}break;case OperatorType.ET://等于if (strA == strB){opds.Push("1");}else{opds.Push("0");}break;case OperatorType.UT://不等于if (strA != strB){opds.Push("1");}else{opds.Push("0");}break;case OperatorType.LT://小于if (numB < numA){opds.Push("1");}else{opds.Push("0");}break;case OperatorType.GT://大于if (numB > numA){opds.Push("1");}else{opds.Push("0");}break;case OperatorType.LE://小于等于if (numB <= numA){opds.Push("1");}else{opds.Push("0");}break;case OperatorType.GE://大于等于if (numB >= numA){opds.Push("1");}else{opds.Push("0");}break;//一元case OperatorType.PS://正opds.Push(numA.ToString());break;case OperatorType.NS://负opds.Push((-numA).ToString());break;case OperatorType.TAN://正切opds.Push(Math.Tan(numA).ToString());break;case OperatorType.ATAN://反正切opds.Push(Math.Atan(numA).ToString());break;case OperatorType.SIN://正弦opds.Push(Math.Sin(numA).ToString());break;case OperatorType.ASIN://反正弦opds.Push(Math.Asin(numA).ToString());break;case OperatorType.COS://余弦opds.Push(Math.Cos(numA).ToString());break;case OperatorType.ACOS://反余弦opds.Push(Math.Acos(numA).ToString());break;case OperatorType.SQRT://开平方opds.Push(Math.Sqrt(numA).ToString());break;case OperatorType.LG://对数opds.Push(Math.Log10(numA).ToString());break;case OperatorType.NOT://非if (strA == "1"){opds.Push("0");}else{opds.Push("1");}break;}}}if (opds.Count == 1){return opds.Pop();}return null;
}

至此，表达式的求值完成。

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