点与坐标系

右手系，

内积（点乘）

外积（叉乘）

|a||b|sin<a,b>

a×b = -b×a

坐标系的变换

原点间的平移
三个轴的旋转

旋转矩阵

R为旋转矩阵

R是一个正交矩阵（R^T * R = I）
R的行列式为+1

Special Orthogonal Group 特殊正交群

旋转加平移

欧拉定理（Euler’s rotation theorem）：刚体在三维空间里的一般运动，可分解为刚体上方某一点的平移，以及绕经过此点的旋转轴的转动。

齐次形式（Homogeneous）:

变换矩阵:

齐次坐标

变换矩阵的集合称为特殊欧氏群 SE(3) （Special Euclidean Group）

逆形式

旋转向量和欧拉角

旋转向量

方向为旋转轴，长度为转过的角度
称为角轴/轴角（Angle Axis）或旋转向量（Rotation Vector）

旋转向量与矩阵的不同：仅有三个量无约束更直观

罗德里格斯公式（Rodrigues’s Formula）：

旋转矩阵转向量：

欧拉角（Euler Angles）

将旋转分解为三个方向上的转动

例，按Z-Y-X顺序转动

轴可以是定轴或动轴，顺序亦可不同

常见的有：yaw-pitch-roll，东北天

不同领域的习惯有所不同

绕物体的Z轴旋转，得到偏航角yaw；

绕旋转之后的Y轴旋转，得到俯仰角pitch；

绕旋转之后的X轴旋转，得到滚转角roll。

万向锁（Gimbal Lock）

欧拉角的奇异性问题

在特定值时，旋转自由度减1；
Yaw-pitch-roll顺序下，当pitch为90度时，存在奇异性

由于万向乐锁的存在，欧拉角不适合插值或迭代。多用于人机交互中

可以证明：仅用三个实数表达旋转时，不可避免地存在奇异性问题

SLAM中亦很少用欧拉角表达姿态

四元数

2D 情况下，可用单位复数表达旋转

三维情况下，四元数可作为复数的扩充

四元数（Quaternion）

有三个虚部和一个实部。虚部之间满足关系：

自己和自己的运算像复数；自己和别人的运算像叉乘

单位四元数可表达旋转

四元数到角轴：

角轴到四元数：

如何用四元数旋转一个空间点？设点p经过一次以q表示的旋转后，得到了p'，它们关系如何表示？

将 p的坐标用四元数表示（虚四元数）：

旋转之后的关系为：

四元数相比于角轴、欧拉角的优势：紧凑、无奇异性

实践：Eigen

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