动态规划系列之股票相关问题 (C语言刷leetcode)

2020-10-15

“知识的诅咒”：一旦我们知道某样东西，我们就会发现很难想象不知道它的时候会是什么样子。

一、概述

leetcode中的股票相关的题目如下：

打开看很容易就知道是求最大收益，由于是求最值，很容易就想到要使用动态规划。
其实动态规划就是使用了穷举，但是因为这类问题存在「重叠⼦问题」，可以使用DP table来优
化穷举过程，记录过计算的结果，避免不必要的计算。

动态规划三要素

重叠⼦问题（如果暴力解决，存在大量运算，可以使用备忘录（DP table）来解决）
最优⼦结构
要符合「最优⼦结构」（子结构之间追求最优是独立的），⼦问题间必须互相独⽴。
状态转移⽅程
你把 f(n) 想做⼀个状态 n，这个状态 n 是由状态 n - 1 和状态 n - 2 相加转移⽽来，这就叫状态转移，仅此⽽已。

其实最难的是如何写出动态转移方程，这个转移方程要求能够穷举（中途可能经过判断忽略一些不可能的计算）且不重复。

二、股票相关问题模板

该模板来自大佬labuladong，其网站文章讲的更详细：https://labuladong.gitbook.io/algo/di-ling-zhang-bi-du-xi-lie/tuan-mie-gu-piao-wen-ti。
本人只是用自己的理解复述一下。

状态转移方程的实现：

先利⽤「状态」进⾏穷举，找到能表示股票交易过程中状态的方法。
状态转移方程（利用买卖、持有的关系，建立状态机）。
定义 base case(这些值可以代入初始时状态转移方程验证一下)，即最简单的情况。

我们的结果是求最大收益，所以状态方程的结果肯定是收益，由这些题目可以得出有两个条件约束最后的收益。
这两个条件是时间（冻结时间等）、交易次数。

再由于状态转移方程中，第n次的最值，需要由前面的第n-1次（甚至前面的n-2次等）转移得到。前面n-1次的持有或者不持有的状态也会影响（一般在思考状态转移方程如何转换才会想到），所以现在有三个状态：时间、交易次数限制、是否持有。
所以可以说是三维DP问题。

得到模板如下：

// i表示日期（第几天）、k表示还能交易的次数、第三位表示该天是持有还是不持有股票
//  dp[i][k][0/1] 表示到第i天持有的最大利润（利用一个三维数组来实现）//状态转移⽅程：
dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i])
//解释：今天我没有持有股票，有两种可能：
//要么是我昨天就没有持有，然后今天选择 rest，所以我今天还是没有持有；
//要么是我昨天持有股票，但是今天我 sell 了，所以我今天没有持有股票了。
dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i])
//解释：今天我持有着股票，有两种可能：
//要么我昨天就持有着股票，然后今天选择 rest，所以我今天还持有着股票；
//要么我昨天本没有持有，但今天我选择 buy，所以今天我就持有股票了。

状态转移方程需要base case，也就是最开始的时候，需要一些初始值来让转移方程开始动作。（比如这里要得出的第一天的情况，你就需要构造出第0天的情况（虽然不存在，但是你得合理构造才能利用dp0推导出dp1））

// 最简单情况（-1是由于状态转移方程的需要所以构造）
base case：
dp[-1][k][0] = dp[i][0][0] = 0
dp[-1][k][1] = dp[i][0][1] = -infinity(负无穷)//对base case的解释
dp[-1][k][0] = 0
解释：因为 i 是从 0 开始的，所以 i = -1 意味着还没有开始，这时候的利润当然是 0。
dp[-1][k][1] = -infinity
解释：还没开始的时候，是不可能持有股票的，⽤负⽆穷表⽰这种不可能。
dp[i][0][0] = 0
解释：因为 k 是从 1 开始的，所以 k = 0 意味着根本不允许交易，这时候利润当然是 0。
dp[i][0][1] = -infinity
解释：不允许交易的情况下，是不可能持有股票的，⽤负⽆穷表⽰这种不可能。

三、具体问题，具体分析

121、买卖股票的最佳时机

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定股票第 i 天的价格。
如果你最多只允许完成一笔交易（即买入和卖出一支股票一次），设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。
注意：你不能在买入股票前卖出股票。

这道题限制了只能交易一次，相当于上文中的k不用考虑，所以状态变成了两个，简单很多。

int maxProfit(int* prices, int pricesSize){if(pricesSize == 0)return 0;// base caseint dp_i_0 = 0;int dp_i_1 = -prices[0];//状态转移方程从第1天开始转移，直到最后一天得到结果for(int i=0; i<pricesSize; ++i){dp_i_0 = (dp_i_0 > (dp_i_1+prices[i]))? dp_i_0 : (dp_i_1+prices[i]);dp_i_1 = (dp_i_1 > (-prices[i])) ? dp_i_1 : (-prices[i]); //因为只能交易一次，dp_i_1只会记录买入的花费}return dp_i_0;
}

122.、买卖股票的最佳时机 II

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定股票第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
```
int maxProfit(int* prices, int pricesSize){if(pricesSize == 0)return 0;// base case:初始化的值为第一天的收益int dp_i_0 = 0;int dp_1_1 = -prices[0];for(int i=0; i<pricesSize; ++i){dp_i_0 = (dp_i_0 > (dp_1_1+prices[i]))? dp_i_0 : (dp_1_1+prices[i]);dp_1_1 = (dp_1_1 > (dp_i_0-prices[i])) ? dp_1_1 : (dp_i_0-prices[i]);}return dp_i_0;
}
```
309.、最佳买卖股票时机含冷冻期

给定一个整数数组，其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格。
设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:
你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。

由于存在冷冻期，所以得多记录前两天未持有股票的情况，状态转移方程也要适当变换。
```
int maxProfit(int* prices, int pricesSize){int dp_i_0 = 0;int dp_i_1 = -0x7FFFFFFF;int dp_i_2_0 = 0;for(int i=0; i<pricesSize; ++i){int temp = dp_i_0;dp_i_0 = (dp_i_0 > (dp_i_1+prices[i]))?  dp_i_0 : (dp_i_1+prices[i]);dp_i_1 = (dp_i_1 > (dp_i_2_0-prices[i]))? dp_i_1 : (dp_i_2_0-prices[i]);dp_i_2_0 = temp;}return dp_i_0;
}
```
714.、买卖股票的最佳时机含手续费

给定一个整数数组 prices，其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格；非负整数 fee 代表了交易股票的手续费用。
你可以无限次地完成交易，但是你每笔交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票，在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。
返回获得利润的最大值。
注意：这里的一笔交易指买入持有并卖出股票的整个过程，每笔交易你只需要为支付一次手续费。

这里只是需要把花费加上而已，和122题相差不大。
```
int maxProfit(int* prices, int pricesSize, int fee){int dp_i_0 = 0;int dp_i_1 = -0x7FFFFFFF; //用一个最小的数表示不可能的结果，让状态转移方程避开这种情况for(int i=0; i<pricesSize; ++i){dp_i_0 = (dp_i_0 > (dp_i_1+prices[i]))? dp_i_0 : (dp_i_1+prices[i]);dp_i_1 = (dp_i_1 > (dp_i_0-prices[i]-fee)) ? dp_i_1 : (dp_i_0-prices[i]-fee);}return dp_i_0;
}
```

123、买卖股票的最佳时机 III

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成两笔交易。
注意: 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

既然最多只能交易两次，那就把两次的分开就行了。（这里只用四个变量保存其中的结果，因为一些值已经不会对结果产生影响）。

int maxProfit(int* prices, int pricesSize){//base caseint dp_i_k_0 = 0; //dp[i][k][0]int dp_i_k_1 = -0x7FFFFFFF; //dp[i][k][1]用一个最小的数表示不可能的结果，让状态转移方程避开这种情况int dp_i_k1_0 = 0;//dp[i][k-1][0]int dp_i_k1_1 = dp_i_k_1;//dp[i][k-1][1]for(int i=0; i<pricesSize; ++i){// k=1dp_i_k1_0 = (dp_i_k1_0 > (dp_i_k1_1+prices[i]))? dp_i_k1_0 : (dp_i_k1_1+prices[i]);dp_i_k1_1 = (dp_i_k1_1 > (-prices[i])) ? dp_i_k1_1 : (-prices[i]); //k=2dp_i_k_0 = (dp_i_k_0 > (dp_i_k_1+prices[i]))? dp_i_k_0 : (dp_i_k_1+prices[i]);dp_i_k_1 = (dp_i_k_1 > (dp_i_k1_0-prices[i])) ? dp_i_k_1 : (dp_i_k1_0-prices[i]);}return dp_i_k_0; //最多交易k次的最大收益
}

188、买卖股票的最佳时机 IV

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。
注意: 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）

这道题是真难呀，看一下大神的解释：四种解法+图解 188.买卖股票的最佳时机 IV

四、参考资料

labuladong的算法小抄
四种解法+图解 188.买卖股票的最佳时机 IV