AcWing 1064 骑士

题目描述：

在 n×n 的棋盘上放 k 个国王，国王可攻击相邻的 8个格子，求使它们无法互相攻击的方案总数。

输入格式

共一行，包含两个整数 n和 k。

输出格式

共一行，表示方案总数，若不能够放置则输出0。

数据范围

1≤n≤10,
0≤k≤n^2

输入样例：

3 2

输出样例：

分析：

本题考察状态压缩DP，而且是棋盘类状压。首先，很容易想到用一串二进制数表示一行放置国王的情况，1表示放置，0表示未放置。而且由每个国王可以攻击周围的八连通区域的格子推出，每一行的状态最多会影响下一行，而不会影响下下行，这为我们逐行进行状态转移提供了可能性。首先，分析从第一行开始，逐行放置国王，如何放置是合法的。第一个条件，第i行不能有相邻两列都放了国王，设第i列的状态为st，只需要st & （st >> 1）为0就可以说明不存在相邻两列都是1了。第二个条件，根据上一行的状态如何得出下一行哪些状态是合法的。首先，第i-1行第j列放置了国王，则第i行第j列就不能放置了，即s & t要为0，其中s为i-1行的状态，t为第i行的状态；另外，上下两行对角线也不能同时为1，只需要判断s | t是否存在相邻的1即可，不存在相邻的1则说明对角线不同时为1。

状态表示：本来只需要第一维表示遍历到的行数，第二维表示第i行的状态即可，但是由于放置的国王数不能超过k，所以需要增加一维表示已经放置的国王数。故f[i][j][k]表示放完前i行的国王，一共放了j个国王且第i行状态为k的方案数。状态转移方程为f[i][j][k] = f[i][j][k] + f[i-1][j-cnt[i]][k']，其中cnt[i]表示第i行放的国王数量，k表示放置第i行前第i-1行的状态，不难理解这个状态的转移，就像01背包问题中选择第i个物品相当于f[i-1][j-v] + w一样，f[i][j][k]这个状态只要合法，方案数自然等于所有能从第i-1行的合法状态转移到f[i][j][k]状态的方案数之和。

本题并不复杂，只是稍微麻烦的是为了提高效率还需要预处理所有合法的状态，将所有不存在相邻1的合法状态都存进向量a中，并统计出每个状态包含1的数量。另外，a中的合法状态可以转移到哪些合法的状态，也可以预处理出来存进向量b中。本题方案数可能很大，需要用long long存储。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 12,M = 105,K = 1 << N;
long long f[N][M][K];
int n,m;
vector<int> a,cnt,b[K];
bool check(int st){return (st & (st >> 1)) == 0;
}
int count(int n){int res = 0;while(n){if(n & 1)   res++;n >>= 1;}return res;
}
int main(){cin>>n>>m;for(int i = 0;i < 1 << n;i++){if(check(i)){a.push_back(i);cnt.push_back(count(i));}   }for(int i = 0;i < a.size();i++){for(int j = 0;j < a.size();j++){int s = a[i],t = a[j];if(!(s & t) && check(s | t))   b[s].push_back(t);}}f[0][0][0] = 1;for(int i = 1;i <= n;i++){for(int j = 0;j <= m;j++){for(int k = 0;k < a.size();k++){int t = a[k];for(int s = 0;s < b[t].size();s++){int u = b[t][s];if(j >= cnt[k])    f[i][j][t] += f[i-1][j - cnt[k]][u];}}}}long long res = 0;for(int i = 0;i < a.size();i++) res += f[n][m][a[i]];cout<<res<<endl;return 0;
}

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