matlab研究积分,运用Matlab实现数值积分的教学研究
在很多积分问题中,古典的求解积分方法无论在理论上还是在解决实际问题中都起了很大的作用,但由于积分函数的复杂性,古典积分公式并不能完全解决定积分的计算问题。由此可见,通过原函数来计算积分有它的局限性。随着计算机和相应计算软件的飞速发展,积分数值计算方法[1-2]已成为很多应用专业的重要学习内容之一,也是数学和计算机等计算方向的大学本科生必学的内容。像Newton-Cotes公式、高斯公式、龙贝格公式是数值积分课程教学的重点,而方法原理及公式推导通常繁琐复杂,若结合图形和实例演示则能达到事半功倍的效果。对于图形计算演示,Matlab软件[3-4]具有很强的实用性,它能快捷处理数学计算问题,其强大的绘图功能和现成的数学计算函数库。在数值积分教学中有重要应用。本文主要运用Matlab软件辅助数值积分解法原理、数值积分方法的教学,以达到更好的教学效果。1回归定义——机械求积函数积分有很多常用的积分公式,但实际绝大数积分问题都不能用现成的积分公式精确求解,所以要寻求一些近似方法。这里根据积分思想,阐述积分公式计算的难点,由积分定义式引出数值积分思想,结合实例,运用Matlab推演简单的数值积分过程,这样学生很容易理解数值积分概念。若一元函数f (x)在区间[a,b]上连续且其原函数为F (x),可用Newton-Leibnitz公式I=∫abf (x) dx=F (b)-F (a)求定积分的值,而F (x)很难得到,这可回归到积分的原始定义:I=∫abf (x) dx=limΔx→0∑i=1Nf (xi)Δx,(1)其中N=(b-a)/Δx。由(1)式的极限形式可知,函数f (x)在区间[a,b]上的积分实际上可认为将区间化成无数小区间Δx,求函数f (x)覆盖每个小区间的矩形面积之和,则极限体现为区间足够小。从数值计算角度而言,极限可看成近似达到预期点的思想,即满足一定的精度要求,结果就认为到达极限。例1求积分I=∫-1111+x2dx。根据(1)式,利用Matlab编程,对划分不同大小区间所得积分值如表1,并通过图形演示积分原理如图1~4。由图1~4可知,当区间长度为0.02时,积分值基本上和原积分值相等,相应误差如表1所示。表1不同区间长度积分值比较(真实积分值为π2)项目数值积分值误差n=101.515 90.054 9n=501.559 50.011 3n=1001.565 10.005 7n=1 0001.570 70.000 1图1真实积分覆盖面积图2 10个区间积分覆盖面积图3 50个区间积分覆盖面积图4 100个区间积分覆盖面积从表1可看出,当区间步长Δx足够小时,(1)式这种机械型积分基本上接近真实值,那是不是说只要区间步长Δx足够小,所有的积分通过(1)式都可近似计算出来?这显然不行,因为在实际问题中可能积分函数f (x)的数学形式不存在,仅知道几个测试点的函数值,或者积分函数很复杂,这样就很难用(1)式达到计算积分的目的,我们必须运用其他数值积分方法,其中插值型积分就是一个很好的方法。2对比分析——插值型积分插值型积分是指用一近似函数φ(x)来代替原函数f (x)进行积分。在区间[a,b]上,近似函数φ(x)构造方法很多,不同的构造函数对应不同的积分方法。这里通过几类积分方法对比分析,让学生掌握插值型积分公式的构造原理,同时也帮助学生对插值理论知识进行巩固。插值求积公式思想:设已知f (x)在区间[a,b]上对应的节点xi (i=0,1,?,n)有函数值f (xi),构造n次拉格朗日插值多项式P (x)=∑k=0nf (xk) lk
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