菜鸡HP的被虐日常（1）难搞的四边形面积①

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在RtΔABCRt\Delta ABCRtΔABC中，BBB为直角，A=60°A=60°A=60°，AB=43AB=4\sqrt{3}AB=43，点DDD在边BCBCBC上，且BD=2BD=2BD=2，点GGG在边ABABAB上，点E、FE、FE、F在边ACACAC上，线段DEDEDE与GFGFGF相交于点OOO，DE=GFDE=GFDE=GF，且∠EOF=60°∠EOF=60°∠EOF=60°，则四边形DGEFDGEFDGEF面积的取值范围是???

条件好多啊啊啊！这一看就是一道很烦的题。emm……emm……emm……先画个图吧？

还是毫无头绪……怎么办办惹？难道求助淋淋女士嘛？不，还是得靠自力更生！
题目要求四边形面积，然后这个四边形我们知道了对角线的夹角，而且两条对角线还是一样长的！那么根据四边形面积公式S=12absinα(a,bS=\frac{1}{2}absinα(a,bS=21absinα(a,b为对角线长度,α,α,α为对角线夹角)，我们只需要求出EDEDED的长度的范围就好了！开熏！
要不设个未知数吧？但设边长貌似不是很好做，那就设角度吧。挑哪个角呢？∠EDC∠EDC∠EDC看起来就像是我能认亲的角厚，就设∠EDC=α∠EDC=α∠EDC=α吧。
先初步定个范围吧！如果α<60°\alpha<60°α<60°，那么∠EOF∠EOF∠EOF不可能等于60°60°60°了，而最大的时候，也只能到∠ADC∠ADC∠ADC那么大。所以初步估计α∈[60°,∠ADC]α∈[60°,∠ADC]α∈[60°,∠ADC]

然后怎么搞呢？当我们做平面几何完全没有任何思路的时候，就只能使用暴力手段，将所有可以求得的量都写出来！以备不时之需。
还好我们的脑子没有被淋淋迷惑厚，我们觉得EDEDED这条边很好。仔细观察一下，发现ΔCDE\Delta CDEΔCDE已知两角一边，那么我们就可以把EDEDED求出来了！珍素开心惹。
∵BD=2,BC=3AB=12,∴DC=10∵BD=2,BC=\sqrt{3}AB=12,∴DC=10∵BD=2,BC=3AB=12,∴DC=10
在ΔCDE\Delta CDEΔCDE中，CDsin∠DEC=DEsinC\frac{CD}{sin_{∠DEC}}=\frac{DE}{sin_C}sin∠DECCD=sinCDE
解得DE=5sin(α+30°)DE=\frac{5}{sin_{(\alpha+30°)}}DE=sin(α+30°)5
太棒了！既然知道了DEDEDE，那么因为题目中说GF=DEGF=DEGF=DE,所以我们高高兴兴地资道了GF=5sin(α+30°)!GF=\frac{5}{sin_{(\alpha+30°)}}!GF=sin(α+30°)5!
但是有什么用呢………………既然发现不了什么，那么我们顺便把ECECEC也求了吧。根据正弦定理可以算出EC=10sinαsin(α+30°)EC=\frac{10sin_{\alpha}}{sin_{(\alpha+30°)}}EC=sin(α+30°)10sinα

愚蠢的HPHPHP：这不是显然是[5,+∞)[5,+∞)[5,+∞)嘛！答案已经有了厚！
聪明的txltxltxl：你说泥玛？傻子都看得出来+∞+∞+∞是不可能的。
愚蠢的HPHPHP：呜呜……又被嘲讽了……那我们还要把α\alphaα的范围算出来咯？
聪明的txltxltxl：是的。

这∠EOF=60°∠EOF=60°∠EOF=60°真的太难用进去了……拘泥于GF=DEGF=DEGF=DE这个条件我们仿佛走入了死胡同！
但是为什么一定要用GF=DEGF=DEGF=DE这个条件呢……60°……60°……60°这个条件真的派不上用场吗？

聪明的txltxltxl：显然能发现，如果∠EOF=60°∠EOF=60°∠EOF=60°，那么如果你平行移动GFGFGF这条直线，那么∠EOF∠EOF∠EOF依然是60°60°60°。
愚蠢的HPHPHP：没听懂………………画个图吧。

聪明的txl:txl:txl:唉………………烂泥胡不夯强惹！图里面G′F′//GFG'F'//GFG′F′//GF，G′F′∩ED=O′(∩G'F'∩ED=O'(∩G′F′∩ED=O′(∩是交点的意思)，)，)，那么显然因为同位角相等，有∠EO′F′=60°∠EO'F'=60°∠EO′F′=60°。无论你怎么平移，只要有这个交点O′O'O′，它就是60°。

这有什么启示呢？

愚蠢的HPHPHP：难道我们要考虑极端情况嘛？？？
聪明的txltxltxl：你终于稍微微微微开窍了一点。GFGFGF它不断平移，如果要有交点，那么将它平移至F′F'F′与EEE重合的时候最短，GGG与BBB重合的时候最长。而GFGFGF的实际长度夹于这两个极端值之间。两种情况我们分别画个图吧。

这个60°60°60°看起来能用进去了！高兴坏了厚。愚蠢的HPHPHP一把抱起体重1300N1300N1300N的聪明的txltxltxl。
根据平行直线内错角相等，我们可以得到∠G′EO=60°∠G'EO=60°∠G′EO=60°。进一步分析，由于∠AG′E+∠AEG′=∠AEG′+∠DEC=120°∠AG'E+∠AEG'=∠AEG'+∠DEC=120°∠AG′E+∠AEG′=∠AEG′+∠DEC=120°，所以得到∠AG′E=∠DEC=150°−α∠AG'E=∠DEC=150°-α∠AG′E=∠DEC=150°−α
可以运用正弦定理了！
在ΔAG′E\Delta AG'EΔAG′E中，G′EsinA=AEsin∠AG′E=AC−ECsin∠AG′E=83−10sinαsin(α+30°)sin(α+30°)\frac{G'E}{sin_A}=\frac{AE}{sin_{∠AG'E}}=\frac{AC-EC}{sin_{∠AG'E}}=\frac{8\sqrt{3}-\frac{10sin_{\alpha}}{sin_{(\alpha+30°)}}}{sin_{(α+30°)}}sinAG′E=sin∠AG′EAE=sin∠AG′EAC−EC=sin(α+30°)83−sin(α+30°)10sinα
太复杂了！但我们还是要算下去。G′E=12−53sinαsin(α+30°)sin(α+30°)G'E=\frac{12-\frac{5\sqrt{3}sin_{\alpha}}{sin_{(\alpha+30°)}}}{sin_{(α+30°)}}G′E=sin(α+30°)12−sin(α+30°)53sinα

然后列不等式
∵G′E≤GF∵G'E≤GF∵G′E≤GF
∴12−53sinαsin(α+30°)sin(α+30°)≤5sin(α+30°)∴\frac{12-\frac{5\sqrt{3}sin_{\alpha}}{sin_{(\alpha+30°)}}}{sin_{(α+30°)}}≤\frac{5}{sin_{(\alpha+30°)}}∴sin(α+30°)12−sin(α+30°)53sinα≤sin(α+30°)5
稍稍化简得7sin(α+30°)≤53sinα7sin_{(\alpha+30°)}≤5\sqrt{3}sin_α7sin(α+30°)≤53sinα
然后愚蠢的HPHPHP就把ααα的范围算出来了……

聪明的txltxltxl：你傻啊！我们要求的GFGFGF的分母是α+30°α+30°α+30°，你求ααα干啥？还不赶紧设β=α+30°β=α+30°β=α+30°去做？
7sinβ≤53sin(β−30°)=53(32sinβ−12cosβ)7sinβ≤5\sqrt{3}sin_{(β-30°)}=5\sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}sinβ-\frac{1}{2}cosβ)7sinβ≤53sin(β−30°)=53(23sinβ−21cosβ)
化简得sinβ>53cosβsinβ>5\sqrt{3}cosβsinβ>53cosβ
当我们还在考虑cosβcosβcosβ的符号时，聪明的txltxltxl已经告诉愚蠢的HPHPHP，β≥90°β≥90°β≥90°。HPHPHP疑惑不解，但当聪明的txltxltxl翻到本博客顶端给他展示ααα的范围之后，他便恍然大悟了。
可以发现，β∈[90°,180°]β∈[90°,180°]β∈[90°,180°]时，该式恒成立！多么令人愉悦。

由于聪明的txltxltxl已经被愚蠢的HPHPHP搞得心力交瘁，导致HPHPHP只能自己去算另一边。在算错了无数次之后，他终于算出来，另一边的不等式的结果为tanβ≤−537tanβ≤-\frac{5\sqrt{3}}{7}tanβ≤−753或β=90°β=90°β=90°
然后我们就可以开开心心地算sinβsinβsinβ的范围啦！不难看出，β=90°\beta=90°β=90°时，sinβ=1sinβ=1sinβ=1最大。当tanβ=−537tan\beta=-\frac{5\sqrt{3}}{7}tanβ=−753时，sinβ=53231sin\beta=\frac{5\sqrt{3}}{2\sqrt{31}}sinβ=23153最小。

终于！S=12DE2sin60°=2534×1sin2β∈[2534,3133]S=\frac{1}{2}DE^2sin60°=\frac{25\sqrt{3}}{4}×\frac{1}{sin^{2}\beta}∈[\frac{25\sqrt{3}}{4},\frac{31\sqrt{3}}{3}]S=21DE2sin60°=4253×sin2β1∈[4253,3313]

太累啦！正当愚蠢的HPHPHP打算瘫倒在地时，法力无边的cjcjcj走了进来，说：好像是有点繁！马上给出了四点共圆的解法，愚蠢的HPHPHP惊为天人，请求cjcjcj讲解……

欲知后事如何，请听下回因式分解。

UpdateUpdateUpdate

在大筒木辉夜成功带领鲁迅等人击败伏地魔和林黛玉完成东天取经后的524952495249天，几个人重新回看了这道题。

律政先锋xh:xh:\;xh:聪明的txltxltxl你竟然也会有失手的一天，你难道没有发现你这个方法是不严谨的吗?\;??
聪明的txl:txl:\;txl:怎么可能?\;??我那么巨怎么可能出错?\;??
愚蠢的HP:HP:\;HP:有问题?\;??我就说我那时候怎么会听不懂厚，原来是你骗我惹。
律政先锋xh:xh:\;xh:你这种讨论只适合于GFGFGF上倾的情况。然而GFGFGF下倾的时候就有问题了。首先是因为下倾的时候α\alphaα不一定要比60°60°60°大，第二是因为下倾的时候GGG点的移动范围也跟上面不一样了。
聪明的txl:txl:\;txl:你说的貌似很有道理的样子。我们还需要对GFGFGF的倾斜状况再进行分类讨论。。。。我要死了!\;!!
律政先锋xh:xh:\;xh:其实也没必要算了毕竟有更好的办法在后面（读者有兴趣可以尝试，希望不要被算吐）
聪明的txl:txl:\;txl:也对。写这种方法的目的不是为了做出这道题，而是知道有时候可以把等量转化为不等量进行分析，将定点转化为动点进行分析。（但聪明的txltxltxl仍因为自己出现纰漏而汤汤大哭）
愚蠢的HP:HP:\;HP:在理在理。