时针法

一、凸包：最大面积边界->外围边界

离散点建立最小外围边界即凸多边形，如下图所示，离散点建立凸包过程

思路：

step1:找到最外围的一个初始边界点A(Xa,Ya)，存入边界点集合

step2:寻找点B使得向量AB方向朝外

判断朝外方向：向上/向下/向左/向右。

· 计算最左和最右两个点，计算过这两个点的直线方程f(x)

· 判断朝外方向，选取点B：

if A点是最左点：方向向左，B(Xa-1,Ya)
elif A点是最右点：方向向右，B(Xa+1,Ya)
else:
if ya<=f(a): 方向向下，B(Xa,Ya-1)
else:方向向上，B(Xa,Ya+1)

step3:在点A上逆时针方向旋转向量AB，寻找点X，使得向量AB与向量AX的夹角

最小

1、通过夹角公式计算向量AB与任意向量AX的夹角:

注意：向量AB逆时针旋转到向量AC和向量AD分别为θ1和θ2，但是通过夹角公式计算的的夹角总是选取最小值，即 θ1和θ3，而θ3是顺时针方向旋转的最小夹角，不满足要求，如下图所示：

所以通过夹角公式计算得到的夹角需要根据朝向方向作进一步判断,

朝向方向：

向上：横坐标大于点A的的点：θ=2π-arccos()=2π-θ3=θ2
向左：纵坐标大于点A的的点：θ=2π-arccos()=2π-θ3=θ2
向下：横坐标小于点A的的点：θ=2π-arccos()=2π-θ3=θ2
向右：纵坐标大于点A的的点：θ=2π-arccos()=2π-θ3=θ2

选取向量AB逆时针旋转到向量AX最小夹角对应的点X，并存入边界点集合。

step4:重复步骤2、3，直到选取的点X与初始边界点A重合停止迭代。

二、凹包：最大凹边->按序(顺时/逆时)连接所有点

思路：

step1:计算离散点的中心点R，找到距离点R最近的一个初始边界点A(Xa,Ya)，存入边界点集合

step2:寻找点X使得向量RA逆时针方向旋转到向量RX的夹角最小

1、通过夹角公式计算向量RA与任意向量RX的夹角:

注意：向量RA逆时针旋转到向量RC和向量RD分别为θ1和θ2，但是通过夹角公式计算的的夹角总是选取最小值，即 θ1和θ3中选取θ3，而θ3是顺时针方向旋转的最小夹角，不满足要求。

所以通过夹角公式计算得到的夹角需要作进一步判断,

2、计算过点R和点A的直线方程f(x)=kx+b，

需要修改的点：手掌沿逆时针方向旋转时手背方向的点：

if k==0 and Xa<Xr:#平行Yd>Yr的点：θ=2π-arccos()=2π-θ3=θ2
elif k==0 and Xa>Xr:#平行Yd<Yr的点：θ=2π-arccos()=2π-θ3=θ2elif k==∞ and Ya>Yr:#垂直Xd>Xr的点：θ=2π-arccos()=2π-θ3=θ2elif k==∞ and Ya<Yr:#垂直Xd<Xr的点：θ=2π-arccos()=2π-θ3=θ2
elif k<0 and Ya>Yr:#斜线Yd>f(d)的点：θ=2π-arccos()=2π-θ3=θ2
elif k<0 and Ya<Yr:#斜线Yd<f(d)的点：θ=2π-arccos()=2π-θ3=θ2
elif k>0 and Ya>Yr:#斜线Yd<f(d)的点：θ=2π-arccos()=2π-θ3=θ2
elif k>0 and Ya<Yr:#斜线Yd>f(d)的点：θ=2π-arccos()=2π-θ3=θ2

3、注意：若出现点C、点D和点R共线，即向量RA逆时针旋转到向量RC和向量RD的夹角相同时，选取距离中心点R最近的点，如下图所示

step2:重复步骤2，直到选取的点X与初始边界点A重合停止迭代。

三、凸边凹化

思路：

递归

step1：遍历凸边界点：

在非边界点中寻找距离凸边两边界点最近的点，存入最近点集合

step2：最近点集合中去重后并入边界点(凸边界+最近点)集合中

step3：使用凹包算法：按序(顺时/逆时)连接所有点边界点

step4：重复步骤1、2、3

结束递归条件：边界点数量==离散点数量。

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时针法

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二、凹包：最大凹边->按序(顺时/逆时)连接所有点

三、凸边凹化

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