一. 终值定理

拉普拉斯变换终值定理公式如下：
lim⁡t→∞f(t)=lim⁡s→0sF(s)\lim _{t \rightarrow \infty} f(t)=\lim _{s \rightarrow 0} s F(s)t→∞limf(t)=s→0limsF(s)
要知道这个公式在自控中的用途，还得从它的意义讲起。
如公式的左边，我们知道这个公式的目标是求f(t)f(t)f(t)的终值，由于在自动控制原理中，大部分函数都是在一个值的附近不断波动的，但波动会随着时间不断减小最后变为0，因此，这个公式可以直接求得f(t)f(t)f(t)函数稳定后不受波动变化时的稳定值。
那么，这个公式的意义在于简化了繁琐的求解过程。为什么这样说呢？我们知道，为了解一个复杂的微分方程，普遍方法是使用拉普拉斯变换辅助求解获得目标函数，但是此方法比较容易获得到的是F(s)F(s)F(s)也就是L[f(t)]L[f(t)]L[f(t)]，而距离获得目标函数，还要对其进行拉普拉斯反变化来获得，最后才进行极限求解。而这一个公式，直接省去了拉普拉斯反变换的过程，直接进行极限求解，因此说这个公式简化了求解过程。

1.1 终值定理求解稳态值

我们用一个简单的例子来讲述终值定理如何运用：
假设一个系统的闭环传递函数为：
Φ(s)=1Ts+1\Phi(s)=\frac{1}{T s+1}Φ(s)=Ts+11
若给一个单位阶跃信号，求其稳态值。
求其复域响应：
C(s)=R(s)⋅Φ(s)=1s⋅1Ts+1C(s)=R(s)\cdot\Phi(s)=\frac{1}{s}\cdot\frac{1}{T s+1} C(s)=R(s)⋅Φ(s)=s1⋅Ts+11

1.1.1 普通方法

使用拉普拉斯反变换求时间响应;
c(t)=L−1[C(s)]=1−e−1Ttc(t)=L^{-1}\left[ C(s) \right]=1-e^{-\frac{1}{T} t} c(t)=L−1[C(s)]=1−e−T1t
利用极限求稳态值;
lim⁡t→∞c(t)=lim⁡t→∞1−e−1Tt=1\lim _{t \rightarrow \infty} c(t)=\lim_{t \rightarrow\infty}1-e^{-\frac{1}{T} t}=1 t→∞limc(t)=t→∞lim1−e−T1t=1
由此可知,稳态值为1。

1.1.2 终值方法

由拉普拉斯终值定理公式，可写：
lim⁡t→∞c(t)=lim⁡s→0sC(s)=lim⁡s→0s⋅1s1Ts+1=lim⁡s→01Ts+1=1\begin{aligned} \lim _{t \rightarrow \infty} c(t)&=\lim _{s \rightarrow 0} s C(s)\\ &=\lim_{s\rightarrow0}s\cdot\frac{1}{s}\frac{1}{T s+1}\\ &=\lim_{s\rightarrow 0 }\frac{1}{T s+1}\\ &=1 \end{aligned} t→∞limc(t)=s→0limsC(s)=s→0lims⋅s1Ts+11=s→0limTs+11=1
与普通方法对比，结果相同，但其计算过程却简便了不少。

1.2 终值定理求解稳态误差

我们继续用上一个例子来讲述终值定理：
假设一个系统的闭环传递函数为：
Φ(s)=1Ts+1\Phi(s)=\frac{1}{T s+1}Φ(s)=Ts+11
若给一个单位斜坡信号，求其稳态误差。
求其复域响应：
C(s)=R(s)⋅Φ(s)=1s2⋅1Ts+1C(s)=R(s)\cdot\Phi(s)=\frac{1}{s^2}\cdot\frac{1}{T s+1} C(s)=R(s)⋅Φ(s)=s21⋅Ts+11
则误差复域信号为：
E(s)=R(s)−R(s)⋅Φ(s)=R(s)⋅[1−Φ(s)]=1s2(1−1Ts+1)=1s2TsTs+1\begin{aligned} E(s)&=R(s)-R(s)\cdot\Phi(s)=R(s)\cdot[1-\Phi(s)]\\ &=\frac{1}{s^2}(1-\frac{1}{T s+1})\\ &=\frac{1}{s^2}\frac{Ts}{T s+1} \end{aligned} E(s)=R(s)−R(s)⋅Φ(s)=R(s)⋅[1−Φ(s)]=s21(1−Ts+11)=s21Ts+1Ts

1.2.1 普通方法

求误差时间响应：
e(t)=L−1[E(s)]=T−Te−tT\begin{aligned} e(t)&=L^{-1}[E(s)]=T-Te^{-\frac{t}{T} } \end{aligned} e(t)=L−1[E(s)]=T−Te−Tt
同样，利用极限：
lim⁡t→∞e(t)=lim⁡t→∞T−Te−tT=T\lim_{t \rightarrow\infty}e(t)=\lim_{t \rightarrow\infty}T-Te^{-\frac{t}{T}}=T t→∞lime(t)=t→∞limT−Te−Tt=T
即，稳态误差为TTT。

1.2.2 终值方法

由拉普拉斯终值定理公式，可写：
lim⁡t→∞e(t)=lim⁡s→0sE(s)=lim⁡s→0s⋅1s2TsTs+1=lim⁡s→0TTs+1=T\begin{aligned} \lim _{t \rightarrow \infty} e(t)&=\lim _{s \rightarrow 0} s E(s)\\ &=\lim_{s\rightarrow0}s\cdot\frac{1}{s^2}\frac{Ts}{T s+1}\\ &=\lim_{s\rightarrow 0 }\frac{T}{T s+1}\\ &=T \end{aligned} t→∞lime(t)=s→0limsE(s)=s→0lims⋅s21Ts+1Ts=s→0limTs+1T=T
由此，比较两方法发现结果相同。

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