2019ICPC银川 F.Function!（数学）

题意：

解法：

f a ( x ) 的逆函数是 l o g a b a n s = ∑ a = 2 n ( a ∑ b = a n ⌊ f a − 1 ( b ) ⌋ ⌈ f b − 1 ( a ) ⌉ ) = ∑ a = 2 n ( a ∑ b = a n ⌊ l o g a ( b ) ⌋ ⌈ l o g b ( a ) ⌉ ) 当 b > = a 时 , ⌈ l o g b ( a ) ⌉ = 1 恒成立那么 a n s = ∑ a = 2 n ( a ∑ b = a n ⌊ l o g a ( b ) ⌋ 当 b < a 2 时 , ⌊ l o g a ( b ) ⌋ = 1 1. 当 a > n 时 , a 2 > n , 由于 b < = n , 因此 b < a 2 恒成立 , 此时 ⌊ l o g a ( b ) ⌋ = 1 恒成立 , 此时 a n s = ∑ a = n + 1 n a ∑ b = a n 1 = ∑ a = n + 1 n a ∗ ( n − a + 1 ) = ∑ a = n + 1 n ( n ∗ a − a 2 + a ) = n ∑ a = n + 1 n a − ∑ a = n + 1 n a 2 + ∑ a = n + 1 n a = ( n + 1 ) ∑ a = n + 1 n a − ∑ a = n + 1 n a 2 发现两项分别是 1 次方前 n 项和与 2 次方前 n 项和 , 可以 O ( 1 ) 计算 . 2. 当 a < = n 时 , O ( s q r t n ) = 1 e 6 枚举 a , 式子内层 O ( l o g ) 计算即可 , 复杂度 O ( 1 e 6 ∗ l o g ) . f_a(x)的逆函数是log_{a}b\\ ans=\sum_{a=2}^n(a\sum_{b=a}^n\lfloor f_a^{-1}(b)\rfloor\lceil f_b^{-1}(a)\rceil)\\ =\sum_{a=2}^n(a\sum_{b=a}^n\lfloor log_a(b)\rfloor\lceil log_b(a)\rceil)\\ 当b>=a时,\lceil log_b(a)\rceil=1恒成立\\ 那么ans=\sum_{a=2}^n(a\sum_{b=a}^n\lfloor log_a(b)\rfloor\\ 当b<a^2时,\lfloor log_a(b)\rfloor=1\\ 1.当a>\sqrt n时,a^2>n,由于b<=n,因此b<a^2恒成立,\\ 此时\lfloor log_a(b)\rfloor=1恒成立,\\ 此时ans=\sum_{a=\sqrt n+1}^na\sum_{b=a}^n1=\sum_{a=\sqrt n+1}^na*(n-a+1)\\ =\sum_{a=\sqrt n+1}^n (n*a-a^2+a)\\ =n\sum_{a=\sqrt n+1}^n a-\sum_{a=\sqrt n+1}^n a^2+\sum_{a=\sqrt n+1}^n a\\ =(n+1)\sum_{a=\sqrt n+1}^n a-\sum_{a=\sqrt n+1}^n a^2\\ 发现两项分别是1次方前n项和与2次方前n项和,可以O(1)计算.\\ 2.当a<=\sqrt n时,O(sqrt n)=1e6枚举a,式子内层O(log)计算即可,\\ 复杂度O(1e6*log). fa(x)的逆函数是logabans=a=2∑n(ab=a∑n⌊fa−1(b)⌋⌈fb−1(a)⌉)=a=2∑n(ab=a∑n⌊loga(b)⌋⌈logb(a)⌉)当b>=a时,⌈logb(a)⌉=1恒成立那么ans=a=2∑n(ab=a∑n⌊loga(b)⌋当b<a2时,⌊loga(b)⌋=11.当a>n 时,a2>n,由于b<=n,因此b<a2恒成立,此时⌊loga(b)⌋=1恒成立,此时ans=a=n +1∑nab=a∑n1=a=n +1∑na∗(n−a+1)=a=n +1∑n(n∗a−a2+a)=na=n +1∑na−a=n +1∑na2+a=n +1∑na=(n+1)a=n +1∑na−a=n +1∑na2发现两项分别是1次方前n项和与2次方前n项和,可以O(1)计算.2.当a<=n 时,O(sqrtn)=1e6枚举a,式子内层O(log)计算即可,复杂度O(1e6∗log).

code：

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int maxm=2e6+5;
const int mod=998244353;
int n;
int ppow(int a,int b,int mod){int ans=1%mod;a%=mod;while(b){if(b&1)ans=ans*a%mod;a=a*a%mod;b>>=1;}return ans;
}
int cal(int n){//1次方前n项和return n%mod*((n+1)%mod)%mod*ppow(2,mod-2,mod)%mod;
}
int cal2(int n){//2次方前n项和return n%mod*((n+1)%mod)%mod*((n*2+1)%mod)%mod*ppow(6,mod-2,mod)%mod;
}
void solve(){cin>>n;int ans=0;//a*a<=nfor(int i=2;i*i<=n;i++){for(int l=i,t=1;l<=n;l*=i,t++){int r=min(n,l*i-1);ans+=(r-l+1)*t%mod*i%mod;ans%=mod;}}//a*a>n;int a=1;while(a*a<=n)a++;ans+=((n+1)%mod)*((cal(n)-cal(a-1))%mod)%mod;ans-=(cal2(n)-cal2(a-1))%mod;//ans=(ans%mod+mod)%mod;cout<<ans<<endl;
}
signed main(){ios::sync_with_stdio(0);solve();return 0;
}

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解法：

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