示性函数、共轭函数、对偶范数、共轭

示性函数(Indicator function)

共轭函数

对偶范数

几个常用公式

共轭（conjugate）

所谓“轭”，指的是古代牛车上放在并行的牛脖颈上的曲木。共轭关系，通俗来说一般用以描述两件事物以一定规律相互配对或孪生（一般共轭对整体很相似，但在某些特征上却性质相反）。在自然界和数学王国中这种现象十分普遍，因此我们用这个词描述了很多以不同规律配对的对象。如二次方程的根式，复数，正反物质等等都有符合共轭现象定义的特征表现。

数学上的共轭：

共轭复数：实数部分相同而虚数部分互为相反数的两个复数。
矩阵的共轭转置：把矩阵转置后，再把每一个数换成它的共轭复数。
自共轭矩阵：矩阵中每一个第i行第j列的元素都与第j行第i列的元素的共轭相等。
代数上的共轭与共轭复数类似，用来进行分母有理化。

轭这个词是有真真切切的实物所对应的，是有非常具象的含义而非译者自己凭空创造出来的。下面这个图就是一副轭：

上图实际上是一副牛轭，分别将两只牛的牛头塞进那两个木套子，就能驭使它们犁地、耕田、拉货。如果只有一个套子的，就只能驭使一头牛，即为单轭。像上面这样有两个套子的，即为双轭（共轭）。

有了图就很好解释和理解了。所谓的共轭关系是什么关系？共轭关系就是这幅双轭里面两头牛之间的关系：既相互制衡，相互约束，相互对立，又相互支撑，相互依存，相互统一。由于科学技术的长足发展，许多原本统一的概念在各个领域有了自己专属的含义。共轭也一样，在不同的科学领域有着不同的定义，共轭这个术语出现的学科包括但不限于以下这些：

数学；

化学；

物理；

本文主要还是针对其数学领域而言，其他领域的请自行参考相关资料。

2.1 共轭的类型

目前数学里面定义的共轭的类型包括但不限于以下内容：

共轭复数；
共轭根式；
共轭元素（场论）；
谐波共轭；
共轭转置；
共轭梯度法；
共轭先验/分布；
共轭线图（图论）；
共轭闭合（群论）；
等角共轭；
共轭点；

2.2 共轭复数

2.2.1 共轭复数的定义

2.2.2 共轭复数的性质

2.3 共轭根式

2.3.1 共轭根式的定义

2.4 共轭转置

2.5 共轭先验/分布

对偶 ≠ 共轭

duality不等于conjugation
对偶dual一定共轭conjugate，反之未必。
（集合中的2个元素）共轭conjugate，是说：一个元素a可以以1种确定的方式变成另外一个元素b。conjugate的本意，不是“一对”，而是“让2个东西能联结到一起”：
在整数加群中，“2”和“-2”关于零元共轭；在有理数域中，“2”和“1/2”关于幺元共轭；在复平面中，“1+i”和“1-i”关于实轴共轭；在向量空间中，向量（1,1）和向量（-2,2）关于纯数0共轭；在测度空间中，L^p空间和Lq关于代数运算（p + q = pq）共轭；……
（集合中的2个元素）对偶dual，是说：一个元素a可以以2种确定的方式变成另外一个元素b。dual的本意，也不是“一对”，而是“某件事的二重性、二元性、二象性、二择性”：
在整数环中，“2”可以共轭到“-2”，也可以通过乘以“-1”变成“-2”；在复平面中，“1+i”可以共轭到“1-i”，也可以旋转到“1-i”；在向量空间中，向量a可以经由某个双线性函数共轭到向量b，也可以经由特征矩阵变换到向量b；在满足Poincaré对偶的流形中，某个维度上的单形链既存在于同调群中，也存在于对偶的上同调群中；……
dual比conjugate厉害，是因为前者必须会玩2种游戏，而后者只要会1种游戏就行。即：后者是群group就行，而前者必须至少是环ring。
在很多场合（如：线性代数、赋范空间）不必区分dual和conjugate（二者是一回事）是因为这些场合天然自带“环ring”甚至“域field”。但在更一般的、只存在1种游戏的场合（如：测度空间、流形、复形），如果不另添加1种游戏进来，那就顶多只能玩conjugation了（duality没戏）。

https://flat2010.github.io/2018/10/26/%E5%85%B1%E8%BD%AD%E7%9A%84%E9%82%A3%E4%BA%9B%E4%BA%8B%E5%84%BF/