最初的定义

行秩：矩阵行向量的最大线性无关组中向量的数量
列秩：矩阵列向量的最大线性无关组中向量的数量
秩：行秩和列秩都称为秩。且二者相等。

矩阵的秩和基础解系个数的关系
如果是一个m×nm×nm\times n的矩阵AAA
方程组中未知数的个数等于列数n" role="presentation" style="position: relative;">nnn
此时如果其基础解系个数是rrr个
那么它的秩是n−r" role="presentation" style="position: relative;">n−rn−rn-r
因为秩为rrr所以可以确定的未知量有r" role="presentation" style="position: relative;">rrr个,也就是说有n−rn−rn-r个自由未知量,对这些未知量进行赋值就可以得出n−rn−rn-r个基础解系了

矩阵分块法

假设有矩阵

Am×n=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮amn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟Am×n=(a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮am1am2⋯amn)

A_{m\times n}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\\ \end{pmatrix}

有关秩的等式和不等式

设AAA是m×n" role="presentation" style="position: relative;">m×nm×nm\times n矩阵，BBB是满足有关矩阵运算要求的矩阵，则
r(A)≤min(m,n)" role="presentation" style="position: relative;">r(A)≤min(m,n)r(A)≤min(m,n)r(\mathbf{A})\leq\min(m,n)
r(A)=r(AT)r(A)=r(AT)r(\mathbf{A})=r(\mathbf{A}^T)
r(A+B)≤r(A)+r(B)r(A+B)≤r(A)+r(B)r(\mathbf{A}+\mathbf{B})\leq r(\mathbf{A})+r(\mathbf{B})

r(AOOB)=r(AA+BOB)=r(A)+r(B)∴r(A+B)≤r(A)+r(B)r(AOOB)=r(AOA+BB)=r(A)+r(B)∴r(A+B)≤r(A)+r(B)

r\begin{pmatrix}A&O\\ O&B\end{pmatrix}=r\begin{pmatrix}A&O\\ A+B&B\end{pmatrix}=r(A)+r(B)\\ \therefore r(A+B)\leq r(A)+r(B)

r(A,B)≤r(A)+r(B)r(A,B)≤r(A)+r(B)r(\mathbf{A},\mathbf{B})\leq r(\mathbf{A})+r(\mathbf{B})

设：α1,⋯,αrα1,⋯,αr\alpha_1,\cdots,\alpha_r,是矩阵AAA的列向量的最大无关组，β1,⋯,βs" role="presentation" style="position: relative;">β1,⋯,βsβ1,⋯,βs\beta_1,\cdots,\beta_s是矩阵BBB列向量的最大无关组，于是在新的矩阵(A,B)" role="presentation" style="position: relative;">(A,B)(A,B)(A,B)中，所有新的列向量都可以使用α1,⋯,αr+β1,⋯,βsα1,⋯,αr+β1,⋯,βs\alpha_1,\cdots,\alpha_r+\beta_1,\cdots,\beta_s来表示
r(A,B)≤r(α1,⋯,αr,β1,⋯,βs)≤r(A)+r(B)r(A,B)≤r(α1,⋯,αr,β1,⋯,βs)≤r(A)+r(B)r(A,B)\leq r(\alpha_1,\cdots,\alpha_r,\beta_1,\cdots,\beta_s)\leq r(A)+r(B)

r(kA)=r(A)(k≠0)r(kA)=r(A)(k≠0)r(k\mathbf{A})=r(\mathbf{A})(k\neq0)
r(AB)≤min(r(A),r(B))r(AB)≤min(r(A),r(B))r(\mathbf{A}\mathbf{B})\leq\min(r(\mathbf{A}),r(\mathbf{B}))

对于线性方程组Bx=0Bx=0B\mathbf{x}=0，其解一定是ABx=0ABx=0AB\mathbf{x}=0的解，所以Bx=0Bx=0B\mathbf{x}=0的基础解系包含在ABx=0ABx=0AB\mathbf{x}=0的基础解系里，于是

n−r(B)≤n−r(AB)⇒r(AB)≤r(B)n−r(B)≤n−r(AB)⇒r(AB)≤r(B)

n-r(B)\leq n-r(AB)\Rightarrow r(AB)\leq r(B)
同理对于ATx=0ATx=0A^T\mathbf{x}=0，其解一定是(AB)Tx=0(AB)Tx=0(AB)^T\mathbf{x}=0的解，于是得到：

m−r(AT)≤m−r((AB)T)⇒r((AB)T)≤r(AT)m−r(AT)≤m−r((AB)T)⇒r((AB)T)≤r(AT)

m-r(A^T)\leq m-r\left((AB)^T\right)\Rightarrow r\left((AB)^T\right)\leq r(A^T)
根据r((AB)T)=r(AB)r((AB)T)=r(AB)r\left((AB)^T\right)=r\left(AB\right)且r(AT)=r(A)r(AT)=r(A)r(A^T)=r(A)
于是得到：
r(AB)≤min(r(A),r(B))r(AB)≤min(r(A),r(B))r(\mathbf{A}\mathbf{B})\leq\min(r(\mathbf{A}),r(\mathbf{B}))

如果AAA是方阵
r(AAT)=r(A)" role="presentation" style="position: relative;">r(AAT)=r(A)r(AAT)=r(A)r(AA^T)=r(A)

证明同上。

r(AB)≥r(A)+r(B)−nr(AB)≥r(A)+r(B)−nr(\mathbf{A}\mathbf{\mathbf{B}})\geq r(\mathbf{A})+r(\mathbf{B})-n

证明：分块矩阵法

(Am×nBn×sOn×sOm×nEn×n)∼(Am×nBn×sOn×sAm×nEn×n)∼(Om×s−Bn×sAm×nEn×n)(Am×nBn×sOm×nOn×sEn×n)∼(Am×nBn×sAm×nOn×sEn×n)∼(Om×sAm×n−Bn×sEn×n)

\begin{aligned} \begin{pmatrix}A_{m\times n}B_{n\times s}&O_{m\times n}\\ O_{n\times s}&\color{red}{E_{n\times n}}\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}A_{m\times n}B_{n\times s}&A_{m\times n}\\ O_{n\times s}&\color{red}{E_{n\times n}}\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}O_{m\times s}&A_{m\times n}\\ -B_{n\times s}&\color{red}{E_{n\times n}}\end{pmatrix} \end{aligned}
可以得到

r(Am×nBn×sOn×sOm×nEn×n)=r(Om×s−Bn×sAm×nEn×n)r(Am×nBn×sOm×nOn×sEn×n)=r(Om×sAm×n−Bn×sEn×n)

r\begin{pmatrix}A_{m\times n}B_{n\times s}&O_{m\times n}\\ O_{n\times s}&\color{red}{E_{n\times n}}\end{pmatrix}=r\begin{pmatrix}O_{m\times s}&A_{m\times n}\\ -B_{n\times s}&\color{red}{E_{n\times n}}\end{pmatrix}

r(Am×nBn×sOn×sOm×nEn×n)=r(AB)+r(En×n)=r(AB)+nr(Am×nBn×sOm×nOn×sEn×n)=r(AB)+r(En×n)=r(AB)+n

r\begin{pmatrix}A_{m\times n}B_{n\times s}&O_{m\times n}\\ O_{n\times s}&\color{red}{E_{n\times n}}\end{pmatrix}=r(AB)+r(E_{n\times n})=r(AB)+n

r(Om×s−Bn×sAm×nEn×n)≥r(A)+r(B)r(Om×sAm×n−Bn×sEn×n)≥r(A)+r(B)

r\begin{pmatrix}O_{m\times s}&A_{m\times n}\\ -B_{n\times s}&\color{red}{E_{n\times n}}\end{pmatrix}\geq r(A)+r(B)
于是乎得到：
r(AB)+n≥r(A)+r(B)⇒r(AB)≥r(A)+r(B)−nr(AB)+n≥r(A)+r(B)⇒r(AB)≥r(A)+r(B)−nr(AB)+n\geq r(A)+r(B)\color{red}\Rightarrow r(AB)\geq r(A)+r(B)-n

更一般的情况

r(ABC)≥r(AB)+r(BC)−r(B)r(ABC)≥r(AB)+r(BC)−r(B)r(\mathbf{A}\mathbf{B}\mathbf{C})\geq r(\mathbf{AB})+r(\mathbf{BC})-r(\mathbf{B})

证明：分块矩阵法

(Am×nBn×sCs×tOn×tOm×sBn×s)∼(Am×nBn×sCs×tOn×sAm×nBn×sBn×s)∼(Om×t−Bn×sCs×tAm×nBn×sBn×s)(Am×nBn×sCs×tOm×sOn×tBn×s)∼(Am×nBn×sCs×tAm×nBn×sOn×sBn×s)∼(Om×tAm×nBn×s−Bn×sCs×tBn×s)

\begin{aligned} \begin{pmatrix}A_{m\times n}B_{n\times s}C_{s\times t}&O_{m\times s}\\ O_{n\times t}&\color{red}{B_{n\times s}}\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}A_{m\times n}B_{n\times s}C_{s\times t}&A_{m\times n}B_{n\times s}\\ O_{n\times s}&\color{red}{B_{n\times s}}\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}O_{m\times t}&A_{m\times n}B_{n\times s}\\ -B_{n\times s}C_{s\times t}&\color{red}{B_{n\times s}}\end{pmatrix} \end{aligned}
可以得到

r(Am×nBn×sCs×tOn×tOm×sBn×s)=r(Om×t−Bn×sCs×tAm×nBn×sBn×s)r(Am×nBn×sCs×tOm×sOn×tBn×s)=r(Om×tAm×nBn×s−Bn×sCs×tBn×s)

r\begin{pmatrix}A_{m\times n}B_{n\times s}C_{s\times t}&O_{m\times s}\\ O_{n\times t}&\color{red}{B_{n\times s}}\end{pmatrix}=r\begin{pmatrix}O_{m\times t}&A_{m\times n}B_{n\times s}\\ -B_{n\times s}C_{s\times t}&\color{red}{B_{n\times s}}\end{pmatrix}

r(Am×nBn×sCs×tOn×tOm×sBn×s)=r(ABC)+r(B)r(Am×nBn×sCs×tOm×sOn×tBn×s)=r(ABC)+r(B)

r\begin{pmatrix}A_{m\times n}B_{n\times s}C_{s\times t}&O_{m\times s}\\ O_{n\times t}&\color{red}{B_{n\times s}}\end{pmatrix}=r(ABC)+r(B)

r(Om×t−Bn×sCs×tAm×nBn×sBn×s)≥r(AB)+r(BC)r(Om×tAm×nBn×s−Bn×sCs×tBn×s)≥r(AB)+r(BC)

r\begin{pmatrix}O_{m\times t}&A_{m\times n}B_{n\times s}\\ -B_{n\times s}C_{s\times t}&\color{red}{B_{n\times s}}\end{pmatrix}\geq r(AB)+r(BC)
于是乎得到：
r(ABC)+r(B)≥r(AB)+r(BC)⇒r(ABC)≥r(AB)+r(BC)−r(B)r(ABC)+r(B)≥r(AB)+r(BC)⇒r(ABC)≥r(AB)+r(BC)−r(B)r(ABC)+r(B)\geq r(AB)+r(BC)\color{red}\Rightarrow r(ABC)\geq r(AB)+r(BC)-r(B)

AB=OAB=O\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{O}时， r(A)+r(B)≤nr(A)+r(B)≤nr(\mathbf{A})+r(\mathbf{B})\leq n, nnn是A" role="presentation" style="position: relative;">AA\mathbf{A}的列数(或 BB\mathbf{B}的行数)

r([AOOB])=r(A)+r(B)r([AOOB])=r(A)+r(B)

r\left(\left[\begin{matrix}\mathbf{A}&\mathbf{O}\\ \mathbf{O}&\mathbf{B}\\\end{matrix}\right]\right)=r(\mathbf{A})+r(\mathbf{B})

r(A)+r(B)≤r([ACOB])≤r(A)+r(B)+r(C)r(A)+r(B)≤r([AOCB])≤r(A)+r(B)+r(C)

r(\mathbf{A})+r(\mathbf{B})\leq r\left(\left[\begin{matrix}\mathbf{A}&\mathbf{O}\\ \mathbf{C}&\mathbf{B}\\\end{matrix}\right]\right)\leq r(\mathbf{A})+r(\mathbf{B})+r(\mathbf{C})

r(A∗)=⎧⎩⎨⎪⎪n,1,0,r(A)=n,r(A)=n−1r(A)<n−1其中A是n阶方阵r(A∗)={n,r(A)=n,1,r(A)=n−1其中A是n阶方阵0,r(A)<n−1

r(\mathbf{A}^*)=\left\{\begin{aligned}&n,&r(\mathbf{A})=n,\\ &1,&r(\mathbf{A})=n-1&其中\mathbf{A}是n阶方阵\\ &0,&r(\mathbf{A})

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