前缀和与差分——最大加权矩形

2024-05-28 08:48:14

前缀和与差分——最大加权矩形

题目描述

为了更好的备战 NOIP2013，电脑组的几个女孩子 LYQ,ZSC,ZHQ 认为，我们不光需要机房，我们还需要运动，于是就决定找校长申请一块电脑组的课余运动场地，听说她们都是电脑组的高手，校长没有马上答应他们，而是先给她们出了一道数学题，并且告诉她们：你们能获得的运动场地的面积就是你们能找到的这个最大的数字。

校长先给他们一个N*N 矩阵。要求矩阵中最大加权矩形，即矩阵的每一个元素都有一权值，权值定义在整数集上。从中找一矩形，矩形大小无限制，是其中包含的所有元素的和最大。矩阵的每个元素属于 [-127,127],例如

在左下角：

和为15。

几个女孩子有点犯难了，于是就找到了电脑组精打细算的 HZH，TZY 小朋友帮忙计算，但是遗憾的是他们的答案都不一样，涉及土地的事情我们可不能含糊，你能帮忙计算出校长所给的矩形中加权和最大的矩形吗？

输入格式

第一行：n，接下来是 n 行 n 列的矩阵。

输出格式

最大矩形（子矩阵）的和。

输入输出样例

输入样例

4
0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2

输出样例

15

说明/提示

n <= 120

分析

设sum[i][j] 为左上角为 (1,1)，右下角为 (i,j) 的矩形的面积，而某一个矩形的左上角的坐标为 (x1,y1)，右下角的坐标为 (x2,y2)，则该矩形的面积为 sum[x2][y2] - sum[x2][y1-1] - sum[x1-1][y2] + sum[x1-1][y1-1]。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[125][125],b[125][125],sum[125][125];int main()
{cin>>n;memset(sum,0,sizeof(sum));for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){cin>>a[i][j];b[i][j]=b[i][j-1]+a[i][j];   // 计算第 i 行到 j 的前缀和sum[i][j]=sum[i-1][j]+b[i][j];  // 计算以 (1,1) 为左上角，(i,j) 为右下角的矩阵和 }}int mx=sum[1][1];for(int x1=1;x1<=n;x1++){for(int y1=1;y1<=n;y1++){for(int x2=x1;x2<=n;x2++){for(int y2=y1;y2<=n;y2++){mx=max(mx,sum[x2][y2]-sum[x2][y1-1]-sum[x1-1][y2]+sum[x1-1][y1-1]);}}}}cout<<mx<<endl;return 0;
}

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