杭电ACM-LCY算法进阶培训班-专题训练（强连通分量）
- 点对统计
- 最大点权
点对统计
Problem Description
给定一个有向图，统计有多少点对u,v(1≤u<v≤n)u,v(1≤u<v≤n)u,v(1≤u<v≤n)满足uuu可以到达vvv，且vvv可以到达uuu。
Input
第一行包含一个正整数T(1≤T≤10)T(1≤T≤10)T(1≤T≤10)，表示测试数据的组数。
每组数据第一行包含两个正整数n,m(1≤n≤100000,1≤m≤200000)n,m(1≤n≤100000,1≤m≤200000)n,m(1≤n≤100000,1≤m≤200000)，表示点数和边数。
接下来mmm行，每行包含两个正整数ui,vi(1≤ui,vi≤n,ui≠vi)u_i,v_i(1≤u_i,v_i≤n,u_i≠v_i)ui,vi(1≤ui,vi≤n,ui=vi)，表示一条ui→viu_i→v_iui→vi的单向边。
Output
对于每组数据输出一行一个整数，即满足条件的点对数。
Sample Input
1
6 7
1 2
2 3
3 1
4 5
5 6
6 4
2 6
Sample Output
6
思路
用Kosaraju算法求出每个强连通分量的大小，记录到f[cnt]f[cnt]f[cnt]中。满足要求的点对数量为∑Cf[i]2=∑f[i]×(f[i]−1)2\sum C_{f[i]}^2=\sum\frac{f[i]\times (f[i]-1)}{2}∑Cf[i]2=∑2f[i]×(f[i]−1)。
#include<cstdio>
using namespace std;
const int maxn=1e5+5,Emaxn=2e5+5;
int n,m,u,v,q[maxn],qtot,vis[maxn],f[maxn],ftot;
int head[maxn],ver[Emaxn],Next[Emaxn],tot;
int rhead[maxn],rver[Emaxn],rNext[Emaxn],rtot;void add(int x,int y){ver[++tot]=y,Next[tot]=head[x],head[x]=tot;rver[++rtot]=x,rNext[rtot]=rhead[y],rhead[y]=rtot;
}void rdfs(int x){vis[x]=1;for(int i=rhead[x];i;i=rNext[i]){if(vis[rver[i]]) continue;rdfs(rver[i]);}q[qtot++]=x;
}int dfs(int x){vis[x]=0; int ret=1;for(int i=head[x];i;i=Next[i]){if(!vis[ver[i]]) continue;ret+=dfs(ver[i]);}return ret;
}void solve(){tot=rtot=qtot=ftot=0;for(int i=0;i<maxn;i++) head[i]=rhead[i]=0;scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=0;i<m;i++) scanf("%d%d",&u,&v),add(u,v);for(int i=1;i<=n;i++) if(!vis[i]) rdfs(i);for(int i=qtot-1;i>=0;i--)if(vis[q[i]]) f[ftot++]=dfs(q[i]);long long ans=0;for(int i=0;i<ftot;i++) ans+=1LL*f[i]*(f[i]-1)/2;printf("%lld\n",ans);
}int main(){int te;scanf("%d",&te);while(te--) solve();
}
最大点权
Problem Description
给定一个有向图，每个点i有点权aia_iai，请对于每个点iii，找到iii能到达的点中点权的最大值（包括iii点）。
Input
第一行包含一个正整数T(1≤T≤10)T(1≤T≤10)T(1≤T≤10)，表示测试数据的组数。
每组数据第一行包含两个正整数n,m(1≤n≤100000,1≤m≤200000)n,m(1≤n≤100000,1≤m≤200000)n,m(1≤n≤100000,1≤m≤200000)，表示点数和边数。
第二行包含n个正整数a1,a2,…,an(1≤ai≤109)a_1,a_2,…,a_n(1≤a_i≤10^9)a1,a2,…,an(1≤ai≤109)，依次表示每个点的点权。
接下来m行，每行包含两个正整数ui,vi(1≤ui,vi≤n,ui≠vi)u_i,v_i(1≤u_i,v_i≤n,u_i≠v_i)ui,vi(1≤ui,vi≤n,ui=vi)，表示一条ui→viu_i→v_iui→vi的单向边。
Output
对于每组数据输出nnn行，每行一个整数，第i行的数表示i点能到达的点中点权的最大值。
Sample Input
1
6 6
3 7 5 3 8 5
1 2
2 3
3 1
4 5
5 6
2 6
Sample Output
7
7
7
8
8
5
推荐测试输入
1
6 6
1 2 5 4 6 10
1 6
6 2
2 1
4 2
3 4
5 3
输出
10
10
10
10
10
10
思路
直接在原图上进行记忆化搜索（或dp）是无法得到正确答案的，因为原图可能有环，不满足“无后效性”这一条件。
可以新建一个图，将原图中的每个强连通分量缩为一个点，这样就得到了一个有向无环图（DAG），在这基础上进行记忆化搜索（或dp）即可。
注意在构建完DAG之后，在记忆化搜索之前，应该用去掉的那些点的权值更新保留下来的点的权值。
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=1e5+5,Emaxn=2e5+5;
int n,m,u[Emaxn],v[Emaxn],a[maxn],vis[maxn],q[maxn],qtot,f[maxn],ans[maxn];
int head[maxn],ver[Emaxn],Next[Emaxn],tot;
int rhead[maxn],rver[Emaxn],rNext[Emaxn],rtot;void add(int u,int v){ver[++tot]=v,Next[tot]=head[u],head[u]=tot;rver[++rtot]=u,rNext[rtot]=rhead[v],rhead[v]=rtot;
}void rdfs(int x){vis[x]=1;for(int i=rhead[x];i;i=rNext[i]){if(vis[rver[i]]) continue;rdfs(rver[i]);}q[qtot++]=x;
}void dfs(int x,int y){vis[x]=0;for(int i=head[x];i;i=Next[i]){if(!vis[ver[i]]) continue;dfs(ver[i],y);}f[x]=y; ans[y]=max(ans[y],a[x]);
}void dfsAns(int x){vis[x]=1; ans[f[x]]=max(a[x],ans[f[x]]);for(int i=head[x];i;i=Next[i]){if(!vis[ver[i]]) dfsAns(ver[i]);ans[x]=max(ans[x],ans[ver[i]]);}
}void solve(){tot=rtot=qtot=0;memset(head,0,sizeof(head));memset(rhead,0,sizeof(rhead));memset(vis,0,sizeof(vis));memset(ans,0,sizeof(ans));scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%d%d",&u[i],&v[i]),add(u[i],v[i]);for(int i=1;i<=n;i++) if(!vis[i]) rdfs(i);for(int i=qtot-1;i>=0;i--) if(vis[q[i]]) dfs(q[i],q[i]);memset(head,0,sizeof(head));memset(rhead,0,sizeof(rhead)); tot=rtot=0;for(int i=1;i<=m;i++) if(f[u[i]]!=f[v[i]]) add(f[u[i]],f[v[i]]);for(int i=1;i<=n;i++) if(!vis[i]) dfsAns(i);for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d\n",ans[f[i]]);
}int main(){int te;scanf("%d",&te);while(te--) solve();
}
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