单源最短路径的迪克斯特拉（Dijkstra)算法

Dijkstra算法

1.定义概览

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法,用于计算一个节点（节点需为源点)到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，注意该算法要求图中不存在负权边。

实例:假设有A,B,C,D四个城市,(这里讨论的是有向网) 它们的距离为: A->B(10),A->C(11),B->D(12),C->D(13);

所谓単源路径就是解决从源点 A开始找出到其他城市的最短距离(除本身外的其他所有城市)。Dijkstra算法可以求出A->B(10),A->C(11),A->D(22);

拓展2：多源最短路径(常用Floyd算法)是解决任意两点间的最短路径的一种算法，(不局限于从源点出发,到其他各个顶点）可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。Floyd算法的时间复杂度为O(N³)，空间复杂度为O(N²)。

代码

/*@ Dijkstra算法(単源最短路径)
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#define MAXV 100
#define LIMITLESS 9999    //定义为无穷大,默认为节点间不存在联系
using namespace std;
typedef struct
{char info; //顶点其他信息
}VertexType;typedef struct MGraph
{int v;     //顶点数int e;    //边数int edges[MAXV][MAXV];//邻接矩阵的数组表现VertexType vexs[MAXV]; //顶点信息
}MGraph;void creat(MGraph *G)
{int i, j, k, w;int start, end;printf("请输入顶点数和边数:\n");scanf("%d%d", &(G->v), &(G->e));getchar();printf("请输入顶点信息:\n");for (i = 0; i<G->v; i++){scanf("%c", &(G->vexs[i].info));}for (i = 0; i<G->v; i++){for (j = 0; j<G->v; j++){G->edges[i][j] = LIMITLESS;}}printf("输入图的顶点边的下标值和它的权值:\n");for (k = 0; k<G->e; k++){scanf("%d%d%d", &start, &end, &w);G->edges[start][end] = w;}
}void print(MGraph *G)
{int i, j;printf("顶点数:%d,边数:%d\n", G->v, G->e);printf("%d个顶点的信息：\n", G->v);for (i = 0; i<G->v; i++){printf("%5c",G->vexs[i].info);}printf("\n各个顶点的连接情况:\n");printf("\t");for (i = 0; i<G->v; i++){printf("[%d]\t", i);}printf("\n");for (i = 0; i<G->v; i++){printf("[%d]\t", i);for (j = 0; j<G->v; j++){if (G->edges[i][j] == LIMITLESS){printf("oo\t");}else{printf("%d\t", G->edges[i][j]);}}printf("\n");}
}void Ppath(MGraph *g,int path[], int i, int v) //前向递归查找路径上的顶点,但不包含起点与终点的路径值
{int k;k = path[i];if (k == v)   //无中间节点,退出{return;}Ppath(g,path, k, v);printf("%c",g->vexs[k]);
}void Dispath(MGraph *g,int dist[], int path[], int s[], int n, int v)
{int i;for (i = 0; i < n; i++){if (s[i] == 1){printf("从%c到%c的最短路径长度为:%d\t路径为:", g->vexs[v], g->vexs[i], dist[i]);printf("%c",g->vexs[v]);     //输出路径上的起点Ppath(g,path, i, v);  //输出路径上的中间点printf("%c\n",g->vexs[i]); //输出路径上的终点}else{printf("从%c到%c不存在路径\n", g->vexs[v], g->vexs[i]);}}
}void Dijkstra(MGraph *g, int v)
{int mindis, i, j, u;int s[MAXV];     //表示这个顶点是否存入最短路线中(0表示未加入,1表示已加入)int dist[MAXV]; //表示起始点到此顶点的距离int path[MAXV];//表示此点的上一步是哪一个顶点for (i = 0; i < g->v; i++){s[i] = 0;dist[i] = g->edges[v][i];if (g->edges[v][i] < LIMITLESS){path[i] = v;}else{path[i] = -1;}}s[v] = 1;path[v] = 0;for (i = 0; i < g->v; i++){mindis = LIMITLESS;         //mindis置最小长度初值for (j = 0; j < g->v; j++) //选取不在s中且具有最小距离的顶点u{if (s[j] == 0 && dist[j] <mindis){mindis = dist[j];u = j;}}s[u] = 1;for (j = 0; j < g->v; j++){if (s[j] == 0){if (g->edges[u][j] < LIMITLESS&&dist[u] + g->edges[u][j] < dist[j]){dist[j] = dist[u] + g->edges[u][j];path[j] = u;}}}}Dispath(g ,dist, path, s, g->v, v);
}int main(void)
{MGraph *g;g = (MGraph *)malloc(sizeof(MGraph));creat(g);print(g);Dijkstra(g,0);return 0;
}

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