容斥原理应用之：错位排列

先解释一下什么是错位排列，原先的值不在原先的位置上，就是错误排列，比如下面这两个数组：

<?php$array=[0=>0,1=>1,2=>2,3=>3
];
// 这个数组就是错位排列
$array2=[0=>1,1=>2,2=>3,3=>0
];
// 这个数组不是错位排列，0还在它之前的位置上
$array3=[0=>0,1=>2,2=>3,3=>1
];

这里需要证明下面的公式：
n元素集合的错位排列数是：Dn=n![1−11!+12!−13!⋯+(−1)n1n!]n元素集合的错位排列数是：\\ D_n=n!\left[1- \frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}\cdots+(-1)^n \frac{1}{n!} \right] n元素集合的错位排列数是：Dn=n![1−1!1+2!1−3!1⋯+(−1)nn!1]
这里需要借用到这里的映上函数统计时的思路：
总的排列数为：n!令Pi代表集合中的bi元素是在原先的位置。于是根据容斥原理：N(P1′P2′⋯Pn′)=n!−C(n,1)(n−1)!+C(n,2)(n−2)!−C(n,3)(n−3)!⋯+(−1)nC(n,n)⋅1=n!−n!(n−1)!1!⋅(n−1)!+n!(n−2)!2!⋅(n−2)!⋯(−1)n⋅n!n!⋅1=n![1−11!+12!−13!⋯+(−1)n1n!]总的排列数为：n!\\ 令 P_i 代表集合中的 b_i 元素是在原先的位置。\\ 于是根据容斥原理：\\ N(P_1 \prime P_2 \prime \cdots P_n \prime)=n!-C(n,1)(n-1)!+C(n,2)(n-2)!-C(n,3)(n-3)! \cdots+(-1)^n C(n,n) \cdot 1\\ =n!-\frac{n!}{(n-1)!1!} \cdot (n-1)!+\frac{n!}{(n-2)!2!}\cdot(n-2)! \cdots (-1)^n \cdot \frac{n!}{n!} \cdot 1 \\ =n!\left[1- \frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}\cdots+(-1)^n \frac{1}{n!} \right] 总的排列数为：n!令Pi代表集合中的bi元素是在原先的位置。于是根据容斥原理：N(P1′P2′⋯Pn′)=n!−C(n,1)(n−1)!+C(n,2)(n−2)!−C(n,3)(n−3)!⋯+(−1)nC(n,n)⋅1=n!−(n−1)!1!n!⋅(n−1)!+(n−2)!2!n!⋅(n−2)!⋯(−1)n⋅n!n!⋅1=n![1−1!1+2!1−3!1⋯+(−1)nn!1]

容斥原理应用之：错位排列相关推荐

NYOJ 912 领帽子（全错位排列）
领帽子时间限制:1000 ms | 内存限制:65535 KB 难度:2 描述有n个人在参加晚会时寄存了自己的帽子.可是保管人忘记放寄存号,当每个人领取帽子时,他只能随机选择一顶帽子交给寄存人 ...
bzoj 4563 [Haoi2016]放棋子错位排列+高精度
题面题目传送门解法可以直接将所有1全部放置在主对角线上,这样并不会影响答案然后就是一个比较简单的错位排列了需要高精度代码 #include <bits/stdc++.h> us ...
广东工业大学2017新生赛（决赛）-网络同步赛 1007 白色相簿的季节【全错位排列】
白色相簿的季节 Time Limit: 3000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 65535/32768 K (Java/Others) Total Submi ...
全错位排列配对概率问题
全错位排列先看下面例子: 例1 5个人站成一排,其中甲不站第一位,乙不站第二位,共有多少种不同的站法. 这个问题在高中很多参考书上都有,有几种解法,其中一解法是用排除法: 先考虑5个有的 ...
LeetCode-Python-634. 寻找数组的错位排列（数学 + 错排公式）
在组合数学中,如果一个排列中所有元素都不在原先的位置上,那么这个排列就被称为错位排列. 给定一个从 1 到 n 升序排列的数组,你可以计算出总共有多少个不同的错位排列吗? 由于答案可能非常大,你只需要 ...
错位排列——杨子曰数学
错位排列--杨子曰数学超链接:数学合集首先,什么是错位排列? 就是你有1号物品,2号物品,3号物品--,它们都有自己对应的箱子:1号箱,2号箱,3号箱-- 现在你把物品放到箱子里,结果一个物品也没 ...
错位排列超详解(组合数学)
错位排列全错位排列最经典的问题是装错信封问题. 我们把信封问题转换一下: 对于1−n1-n1−n 共n个数字组成的序列中,每个数字仅出现一次,求每个数字跟位置完全不对应的总方案数. 对于第一个位置上 ...
全错位排列与部分错位排列（组合数学）
全错位排列基本简介 "装错信封问题"是由当时最有名的数学家约翰·伯努利(Johann Bernoulli,1667-1748)的儿子丹尼尔·伯努利(DanidBernoulli, ...
经典算法题：全错位排列问题
问题描述这是一个很经典的数学问题:有一个人写了n封信件,对应n个信封,然而粗心的秘书却把所有信件都装错了信封,那么一共有多少种装错的装法? 数学抽象这个问题可抽象为以下一个数学问题:已知一个长度为 ...

容斥原理应用之：错位排列

容斥原理应用之：错位排列

容斥原理应用之：错位排列相关推荐

最新文章

热门文章