Random walk(期望值和方差)

理解：首先上面改给出的那个公式还是很好理解的，有点不太明白的就是最后面那个1是个定值吗？

每一 E(x,y)看成一个未知量，它只有可能和上下左右四个E(dx,dy)未知量有关系，且满足上述方程，如果移动不是等概率的，只需要将1/4改成相应的数值就可以了，当然这个等值的未知量不仅仅是5个，未知量是矩阵的个数个(NM)，其他没有关系的未知量的系数已经初始化为0了，因为有NM个未知量，就得有N*M个方程，为了消除分数，代码中未知量相应的做了变换改成了下式:

-E(x-1,y)-E(x+1,y)-E(x,y-1)-E(x,y+1)+4E(x,y)==4

当然，因为移动概率不是固定的，所以代码中用move记录，接下来就是用高斯消元求解了

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long ll;
#define pi acos(-1.0)
#define e exp(1.0)
const ll maxn=50,maxm=50;
const double EPS=1e-10;
char grid[maxn][maxm+1];//存图
bool can_goal[maxn][maxm];
ll N,M;
ll dir[4][2]={0,1,1,0,-1,0,0,-1};
typedef vector<double> vec;
typedef vector<vec> mat;
mat A(maxn*maxm,vec(maxn*maxm,0));//,系数矩阵，初始化这是个sao cao zuo
vec B(maxn*maxm);//方程等式右边的值
void DFS(ll x,ll y)//判断哪些位置能到达终点
{can_goal[x][y]=1;ll i,j,X,Y;for(i=0;i<4;i++){X=x+dir[i][0];Y=y+dir[i][1];if(X>=0&&X<N&&Y>=0&&Y<M&&!can_goal[X][Y]&&grid[X][Y]!='#')DFS(X,Y);}return ;
}
bool Find_line(ll k)//在大于等于k的行数中找到第k个未知数的系数不为0的一行，并将其交换到第k行
{ll i=k;while(k<N*M&&abs(A[k][i])<EPS)k++;if(k==N*M)return 0;for(ll j=0;j<N*M;j++)swap(A[k][j],A[i][j]);return 1;
}
void built_matrix()
{ll x,y;for(x=0;x<N;x++){for(y=0;y<M;y++){  //终点或者其他不能到达终点的位置 if((x==N-1&&y==M-1)||!can_goal[x][y]){A[x*M+y][x*M+y]=1;continue;}ll move=0;for(ll k=0;k<4;k++){ll X,Y;X=x+dir[k][0];Y=y+dir[k][1];if(X>=0&&X<N&&Y>=0&&Y<M&&grid[X][Y]=='.'){A[x*M+y][X*N+Y]=-1;move++;} }A[x*M+y][x*M+y]=move;B[x*M+y]=move;}}return ;
}
void gauss_jordan()
{built_matrix();ll i,j,k;for(i=0;i<N*M;i++){if(!Find_line(i)){puts("No Solution");return ;}for(j=i+1;j<N*M;j++){double mul=A[j][i]/A[i][i];A[j][i]=0;for(k=i+1;k<N*M;k++)A[j][k]-=(A[i][k]*mul);B[j]-=(B[i]*mul);}}for(i=N*M-1;i>=0;i--){if(!A[i][i]){puts("No Solution");return ;}B[i]/=A[i][i];for(j=i-1;j>=0;j--)B[j]-=(B[i]*A[j][i]);}printf("%.8lf\n",B[0]);return ;
}
int main()
{//  freopen(".../.txt","w",stdout);ios::sync_with_stdio(false);cin>>N>>M;ll i,j;for(i=0;i<N;i++){for(j=0;j<M;j++)cin>>grid[i][j];}memset(can_goal,0,sizeof(can_goal));DFS(N-1,M-1);gauss_jordan();return 0;
}

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