三维向量的简单运算（点积、叉积及点到直线的距离）

三维向量的点积（Dot Product）

点乘比较简单，是相应元素的乘积的和：
V1( x1, y1, z1)·V2(x2, y2, z2) = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2;
注意结果不是一个向量，而是一个标量（Scalar）。点乘有什么用呢，我们有：
A·B = |A||B|Cos(θ)
θ是向量A和向量B见夹角。这里|A|我们称为向量A的模(norm)。这样我们就和容易计算两条线的夹角：

Cos(θ) = A·B /(|A|*|B|)

叉乘（cross product）

首先我们知道，对于向量u和v, u x v的结果，是得到一个既垂直于u又垂直于v的向量,假设记作n.

则有下面公式

n = u x v;

而n的方向，是由右手法则决定的。即伸出右手，四个手指方向从u绕到v. 此时，大姆指的方向，就是n的方向。我们通常叫做右向量。

引用一下维基百科的图来说明问题，有兴趣的兄弟可以照图比划一下。（注：图中向量是用的a x b来表示）

如果只是为了应用的话，走到这一步就可以停下了。后面的知识，只是为了满足一下好奇心。

那我们就来看看，这个结论是怎么来的呢？我们接着来推导。

为了更好地推导，我们需要加入三个轴对齐的单位向量。

i,j,k.

i,j,k满足以下特点

i = j x k; j = k x i; k = i x j;

k x j = –i; i x k = –j; j x i = –k;

i x i = j x j = k x k = 0; (0是指0向量）

由此可知，i,j,k是三个相互垂直的向量。它们刚好可以构成一个坐标系。

这三个向量的特例就是 i = (1,0,0) j = (0,1,0) k = (0,0,1)。

好，那对于处于i,j,k构成的坐标系中的向量u,v我们可以如下表示

u = Xu*i + Yu*j + Zu*k;

v = Xv*i + Yv*j + Zv*k;

那么 u x v = (Xu*i + Yu*j + Zu*k) x (Xv*i + Yv*j + Zv*k)

= Xu*Xv*(ixi) + Xu*Yv*(i x j) + Xu*Zv*(i x k) + Yu*Xv*(j x i) + Yu*Yv*(j x j) + Yu*Zv*(j x k) + Zu*Xv*( k x i ) + Zu*Yv(k x j) + Zu*Zv(k x k)

由于上面的i,j,k三个向量的特点，所以，最后的结果可以简化为

u x v = (Yu*Zv – Zu*Yv)*i + (Zu*Xv – Xu*Zv)j + (Xu*Yv – Yu*Xv)k;

于是，在i,j,k构成的坐标系中。集就是上面的结果。

当i = (1,0,0) j = (0,1,0) k = (0,0,1)时，我们通常省略i,j,k的写法。最终也就得到了我们的右向量。

叉乘的意义

叉乘表示垂直于uxv的右向量。

使用的地方

可以通过叉乘，修正向量关系，从而构建坐标系。常见的有摄相机矩阵和TBN空间转换矩阵的构建。

点到线的距离

找出一个点和一条线间的距离是经常遇见的几何问题之一。假设给出三个点，A，B和C，你想找出点C到点A、B定出的直线间距离。第一步是找出A到B的向量AB和A到C的向量AC，现在我们用该两向量的叉积除以|AB|，这就是我们要找的的距离了（下图中的红线）。
d = (AB x AC)/|AB|

(AB X AC)/2是三角形ABC的面积，这个三角形的底是|AB|，高就是C到AB的距离。有时叉积得到的是一个负值，这种情况下距离就是上述结果的绝对值。
当我们要找点到线段的距离时，情况变得稍稍复杂一些。这时线段与点的最短距离可能是点到线段的某一端点，而不是点到直线的垂线。例如上图中点C到线段AB的最短距离应该是线段BC。我们有集中不同的方法来判断这种特殊情况。第一种情况是计算点积AB Bc来判定两线段间夹角。如果点积大于等于零，那么表示AB到BC是在-90到90度间，也就是说C到AB的垂线在AB外，那么AB上到C距离最近的点就是B。同样，如果BAAC大于等于零，那么点A就是距离C最近的点。如果两者均小于零，那么距离最近的点就在线段AB中的某一点。

点到面的距离

设某三维平面表达式为
a*x+b*y+c*z+d = 0;
则其法向量即为: (a,b,c).
任意一点 p = (x1, y1, z1)到该平面的距离为：
(a*x1 + b*y1 + c*z1+d) / (a*a + b*b +c*c)

三维向量的简单运算（点积、叉积及点到直线的距离）相关推荐

hdu 1174:爆头（计算几何，三维叉积求点到线的距离）
爆头 Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others) Total Submiss ...
叉积求点到平面距离_OpenCV计算点到直线的距离数学法
我们在检测图像的边缘图时,有时需要检测出直线目标,hough变换检测出直线后怎么能更进一步的缩小区域呢?其中,可以根据距离来再做一判断,就涉及到了点与直线的距离问题. 点到直线距离代码如下: //== ...
点到直线的距离c语言程序,计算几何算法2. 关于线和点到线的距离（二维和三维）...
关于直线直线方程点到直线的距离用两点表示的直线 2d隐式表示的直线的情形参数方程表示的直线一个点到射线或线段的距离代码实现距离计算是计算机图形学和计算几何的基本问题,而且有很多关于这方面 ...
使用向量的方法来计算点到直线的距离
使用向量的方法效率更高,更简单. 首先要了解什么是向量,什么是向量的模主要用到了解析几何里的几个公式 a * b = | a | * | b | * cos(x),其中x为向量a,b的夹角 | a ...
使用向量的方法计算点到直线的距离
基础: 单位向量:模等于1的向量,一个非零向量除以它的模,可得所需单位向量. 向量的加减法: 向量的投影:设两个非零向量a与b的夹角为θ,则将|b|·cosθ 叫做向量b在向量a方向上的投影向量的点 ...
3D数学自定义三维向量类进行运算
3D数学自定义向量类进行运算设计一个3维向量类,可以实现如下运算: 零向量负向量向量大小.长度.模标量与向量的乘除法单位向量向量的加法和减法距离公式向量点乘向量叉乘由于原理很简单 ...
HDU1174（空间点到直线的距离，用叉积）
爆头 Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others) Total Submiss ...
三维几何基础大合集（三维点积叉积、点线面、凸包）《计算几何全家桶（三）》
整理的算法模板合集: ACM模板目录一.三维基础操作 1.1 三维点积(Dot3) 1.2 三维叉积(Cross3) 1.3 矢量差(Subt) 1.4.1 返回ab,ac,ad的混合积(Volu ...
电子计算机应用地质地貌,岩土基础整理一、高数24 1、空间解析几何与向量代数两点间的距离，向量数量积，向量向量积，平面方程，两平面夹角，点到平面的距离，点... - 雪球...
来源:雪球App,作者: 超级奶爸xujunhorse,(https://xueqiu.com/3442498082/131579485) 一.高数24 1.空间解析几何与向量代数两点间的距离,向量 ...

三维向量的简单运算（点积、叉积及点到直线的距离）

三维向量的简单运算（点积、叉积及点到直线的距离）相关推荐

最新文章

热门文章