【动态规划】守护者的挑战

【问题描述】

打开了黑魔法师Vani 的大门，队员们在迷宫般的路上漫无目的地搜寻着关押applepi 的
监狱的所在地。突然，眼前一道亮光闪过。“我，Nizem，是黑魔法圣殿的守卫者。如果你能通过我的挑战，那么你可以带走黑魔法圣殿的地图„„”瞬间，队员们被传送到了一个擂台上，最初身边有一个容量为K 的包包。擂台赛一共有N 项挑战，各项挑战依次进行。第i项挑战有一个属性ai ，如果 ai>=0，表示这次挑战成功后可以再获得一个容量为ai的包包；如果ai=-1，则表示这次挑战成功后可以得到一个大小为1 的地图残片。地图残片必须装在包包里才能带出擂台，包包没有必要全部装满，但是队员们必须把获得的所有的地图残片都带走（没有得到的不用考虑，只需要完成所有N 项挑战后背包容量足够容纳地图残片即可），才能拼出完整的地图。并且他们至少要挑战成功L 次才能离开擂台。队员们一筹莫展之时，善良的守卫者Nizem 帮忙预估出了每项挑战成功的概率，其中第i 项挑战成功的概率为pi。现在，请你帮忙预测一下，队员们能够带上他们获得的地图残片离开擂台的概率。

【问题分析】
动态规划求解考场上首先想到的就是F[i][j][k][l]表示前i个挑战之中获胜j次，当前地图有k个，背包容量为l的概率。但是根据此题数据范围n<=200，会TLE，所以想了一下，可以将k与l压维，新的状态为F[i][j][k]表示前i个挑战之中获胜j次，背包还可以装k个地图的概率，此时-200<=k<=200，所以就巧妙地合并了k l俩维。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N=210;
int n,k,l,zero=210; int a[N];
double p[N],ans; double F[2][N][N*2];
int readin()
{int x=0,f=1; char ch=getchar();while(ch>'9'||ch<'0') {if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9') {x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;
}
int mymax(int a,int b)
{return a>b?a:b;
}
void read()
{int i;n=readin(); l=readin(); k=readin();k=min(k,n);for (i=1;i<=n;i++){p[i]=readin();p[i]/=100.00;}for (i=1;i<=n;i++)a[i]=readin();return;
}
void dp()
{int i,j,x;  int now=1,last=0;F[1][1][mymax(n,zero+k+a[1])]=p[1];F[1][0][k+zero]=1-p[1];for (i=2;i<=n;i++){swap(now,last);memset(F[now],0,sizeof(double)*N*N*2);for (x=zero-n;x<=zero+200;x++)//当j==0时可知之前无胜利 特殊的转移F[now][0][x]+=(1-p[i])*F[last][0][x];for (j=1;j<=n;j++)for (x=zero-n;x<=zero+200;x++){F[now][j][x]+=p[i]*F[last][j-1][x-a[i]];F[now][j][x]+=(1-p[i])*F[last][j][x];}}for (i=zero;i<=zero+200;i++)for (j=l;j<=n;j++)ans+=F[now][j][i];printf("%.6lf\n",ans);return;
}
int main()
{freopen("guard.in","r",stdin);freopen("guard.out","w",stdout);read();dp();return 0;
}

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