灰度图像与二值化

问题描述：将彩色图像转换为灰度图像并进行二值化处理

代码如下（示例）：

#include <opencv2/opencv.hpp>cv::Mat BGR2GRAY(cv::Mat img)
{int width = img.cols;int height = img.rows;// CV_8UC1代表单通道的8bit array数组cv::Mat new_image = cv::Mat::zeros(height, width, CV_8UC1);for (int i = 0; i < height; ++i){for (int j = 0; j < width; ++j){// 转换公式 img_gray = 0.2126 * R + 0.7152 * G + 0.0722 * B;// 需要注意图像格式输出的是整数new_image.at<uchar>(i, j) = 0.2126 * (float)img.at<cv::Vec3b>(i, j)[2]\+ 0.7152 * (float)img.at<cv::Vec3b>(i, j)[1]\+ 0.0722 * (float)img.at<cv::Vec3b>(i, j)[0];}}return new_image;
}cv::Mat Binarize(cv::Mat img, int thres)
{int width = img.cols;int height = img.rows;cv::Mat new_image = cv::Mat::zeros(height, width, CV_8UC1);for (int i = 0; i < height; ++i){for (int j = 0; j < width; ++j){if (img.at<uchar>(i, j) > thres){new_image.at<uchar>(i, j) = 255;}else{img.at<uchar>(i, j) = 0;}}}return new_image;
}cv::Mat Binarize_Otsu(cv::Mat img)
{int width = img.cols;int height = img.rows;double count0 = 0, count1 = 0;double sum_val0 = 0, sum_val1 = 0;double sigma_max = 0, sigma = 0;int thres = 0;int val = 0;for (int th = 0; th < 255; ++th){for (int i = 0; i < height; ++i){count0 = 0;    // 每次循环重置参数count1 = 0;sum_val0 = 0;sum_val1 = 0;for (int j = 0; j < width; ++j){val = (int)img.at<uchar>(i, j);if (val < th){count0++;sum_val0 += val;}else{count1++;sum_val1 += val;}}}sum_val0 /= count0;sum_val1 /= count1;count0 /= (height * width);count1 /= (height * width);sigma = count0 * count1 * pow((sum_val0 - sum_val1), 2);if (sigma > sigma_max){sigma_max = sigma;thres = th;}}std::cout << "threshold: " << thres << std::endl;cv::Mat new_image = cv::Mat::zeros(height, width, CV_8UC1);for (int i = 0; i < height; ++i){for (int j = 0; j < width; ++j){if (img.at<uchar>(i, j) > thres){new_image.at<uchar>(i, j) = 255;}else{img.at<uchar>(i, j) = 0;}}}return new_image;
}int main()
{cv::Mat img = cv::imread("../Neopolitan.png", cv::IMREAD_COLOR);// BGR2GRAYcv::Mat gray_image = BGR2GRAY(img);cv::Mat new_image = Binarize(gray_image, 128);// cv::Mat new_image = Binarize_Otsu(gray_image); // 大津二值化cv::imwrite("../1-10/Neopolitan2.png", gray_image);cv::imwrite("../1-10/Neopolitan3.png", new_image);// cv::imwrite("../1-10/Neopolitan4.png", new_image);cv::waitKey(0);cv::destroyAllWindows();return 0;
}

输入图像 (Neopolitan.png)	灰度图像 (Neopolitan2.png)	二值化图像 (Neopolitan3.png)	大津二值化图像 (Neopolitan4.png)

Vec3b

Vec3b可以看作是vector<uchar, 3>，简单而言就是一个uchar类型的，长度为3的vector向量。

由于在OpenCV中，使用imread读取到的Mat图像数据，都是用uchar类型的数据存储，对于RGB三通道的图像，每个点的数据都是一个Vec3b类型的数据。使用at定位方法如下：

img.at<Vec3b>(row, col)[0] = 255;　　// 这是指修改B通道数据
img.at<Vec3b>(row, col)[1] = 255;　　// 这是指修改G通道数据
img.at<Vec3b>(row, col)[2] = 255;　　// 这是指修改R通道数据

大津二值化

大津算法，也被称作最大类间方差法，是一种可以自动确定二值化中阈值的算法。即，使得类内方差和类间方差的比值最大的阈值即为大津二值化阈值。

我们可以通过以下的参数来计算大津二值化阈值：

我们可以通过阈值ththth将图像灰度值分为两类，小于阈值ththth的类记作000，大于阈值ththth的类记作111；
w0w_0w0和w1w_1w1分别代表000类和111类中的灰度值数目占总灰度值数目（也即像素个数）的比率（满足w0+w1=1w_0+w_1=1w0+w1=1）；
S02{S_0}^2S02， S12{S_1}^2S12分别代表000类和111类中灰度值的方差；
M0M_0M0，M1M_1M1分别代表000类和111类中灰度值的平均值；

基于上述定义，我们便可以根据下述公式计算出类内方差和类间方差，即：

类内方差：Sw2=w0S02+w1S12{S_w}^2=w_0\ {S_0}^2+w_1\ {S_1}^2Sw2=w0 S02+w1 S12
类间方差：Sb2=w0(M0−Mt)2+w1(M1−Mt)2=w0w1(M0−M1)2{S_b}^2 = w_0 \ (M_0 - M_t)^2 + w_1\ (M_1 - M_t)^2 = w_0\ w_1\ (M_0 - M_1) ^2Sb2=w0 (M0−Mt)2+w1 (M1−Mt)2=w0 w1 (M0−M1)2
图像所有灰度值的方差：St2=Sw2+Sb2=常数{S_t}^2 = {S_w}^2 + {S_b}^2 = \text{常数}St2=Sw2+Sb2=常数

根据上述公式，我们可以类内方差和类间方差的比值，并用分离度XXX来表示：

X=Sb2Sw2=Sb2St2−Sb2X = \frac{{S_b}^2}{{S_w}^2} = \frac{{S_b}^2}{{S_t}^2 - {S_b}^2} X=Sw2Sb2=St2−Sb2Sb2

也就是说：
arg⁡max⁡tX=arg⁡max⁡tSb2\arg\max\limits_{t}\ X=\arg\max\limits_{t}\ {S_b}^2 argtmax X=argtmax Sb2
换言之，如果使Sb2=w0w1(M0−M1)2{S_b}^2={w_0}\ {w_1}\ (M_0 - M_1)^2Sb2=w0 w1 (M0−M1)2最大，就可以得到最好的二值化阈值ththth。

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