非平稳过程

文章目录

非平稳过程
- 1. 问题引入
- 2. 循环平稳过程
- - 2.1 循环平稳过程的定义
  - 2.2 循环平稳过程与宽平稳随机过程的关系
  - 2.3 条件期望
  - - 2.3.1 定义
    - 2.3.2 条件期望的性质
    - 2.3.3 条件期望的应用
  - 2.4 循环平稳过程的应用--PAM
  - - 2.4.1 PAM概述
    - 2.4.2 PAM的时域分析
    - 2.4.3 PAM的频域分析
- 3. 正交增量过程
- - 3.1 定义
  - 3.2 时域分析
  - 3.3 正交增量过程的应用--布朗运动
  - - 3.3.1 概述
    - 3.3.2 时域分析
    - 3.3.3 平稳分量与非平稳分量
    - 3.3.4 伊藤公式与随机微分方程
    - - (1) 随机过程的导数与伊藤公式
      - (2) 随机微分方程
    - 3.3.5 期权定价问题
    - - (1) 布朗运动与金融建模
      - (2) 期权与对冲问题
      - (3) 期权定价

1. 问题引入

所谓平稳过程就是某些统计特性不随时间改变。之前介绍了宽平稳随机过程，宽平稳随机过程一般是对一阶矩和二阶矩做出了规定。也就是宽平稳随机过程的均值是个常数，相关只与两个时间的差值有关，不随着时间的变化而变化。

Stationary⇔InvarianceWide-Sense: E(Z(t))=mE(Z(t)Z(s))=RZ(t−s)\text{Stationary} \Leftrightarrow \text{Invariance} \text{Wide-Sense: } \\ E(Z(t)) = m \\ E(Z(t)Z(s)) = R_Z(t-s) Stationary⇔InvarianceWide-Sense: E(Z(t))=mE(Z(t)Z(s))=RZ(t−s)

平稳性使得我们分析问题变得简单了起来。因为，有了宽平稳的条件之后，我们不仅可以从时域上，从相关层面去分析随机过程，更可以从频域上，在功率谱层面去分析随机过程。

接下来，我们会研究非平稳随机过程。

Non-Stationary Process\text{Non-Stationary Process} Non-Stationary Process

平稳的形式可能比较确定，非平稳必然意味着无穷多种的变化，因此，研究非平稳的时候必须指明形式，否则，没有办法具体问题具体分析。

接下来，我们会介绍循环平稳过程和正交增量过程两种非平稳随机过程。循环平稳过程是相关函数具有一定周期性的一种非平稳随机过程，通讯上研究的很多问题都是循环平稳过程，并且循环平稳过程可以通过适当的变换成为宽平稳随机过程。正交增量过程是随机过程不重叠的增量具有正交性的一种随机过程。布朗运动是正交增量过程的一种典例。并且布朗运动通过某些变换，也可以变成宽平稳随机过程，布朗运动在金融问题中，有广泛的应用。

2. 循环平稳过程

2.1 循环平稳过程的定义

Cyclostationary\text{Cyclostationary} Cyclostationary

循环平稳过程，又叫做周期平稳过程，是在宽平稳的基础上稍加修改得到得到的。因为平稳的时移特性是对任意T存在的，只要把这个时移特性改成对存在T成立即可。

Wide-SenseRZ(t,s)=RZ(t+T,s+T)∀TCyclostationaryRZ(t,s)=RZ(t+T,s+T)∃T⇒RZ(t,s)=RZ(t+nT,s+nT)Period\text{Wide-Sense} \\ R_Z(t,s) = R_Z(t+T,s+T) \quad \forall T \\ \text{Cyclostationary} \\ R_Z(t,s) = R_Z(t+T,s+T) \quad \exist T \\ \Rightarrow R_Z(t,s) = R_Z(t+nT,s+nT) \quad \text{Period} Wide-SenseRZ(t,s)=RZ(t+T,s+T)∀TCyclostationaryRZ(t,s)=RZ(t+T,s+T)∃T⇒RZ(t,s)=RZ(t+nT,s+nT)Period

循环平稳过程只在T的倍数点上具有时移不变性，因此，循环平稳过程的相关函数具有周期性，而不具有时移不变性。

2.2 循环平稳过程与宽平稳随机过程的关系

由于循环平稳过程的相关函数与时间是有关的，因此循环平稳过程并不是一种平稳的随机过程。但是，由于循环平稳过程与宽平稳随机过程具有极高的相似性，我们能够找到二者之间的联系，把循环平稳过程变成宽平稳随机过程极进行处理呢?

我们假设有循环平稳过程Z(t)的周期是T。并且有一个均匀分布U，在[0,T]区间上是均匀分布的。并且U与Z是独立的

Z(t)⇒CycloU∼U[0,T]IndependentZ(t) \Rightarrow \text{Cyclo} \\ U \sim U[0,T] \quad \text{Independent} Z(t)⇒CycloU∼U[0,T]Independent

则我们可以用Z和U构建一个宽平稳随机过程

Y(t)=Z(t+U)Y(t) = Z(t+U) Y(t)=Z(t+U)

我们来证明一下Y(t)是一个宽平稳随机过程

RY(t,s)=E(Y(t)Y(s))=E(Z(t+U)Z(s+U))R_Y(t,s) = E(Y(t)Y(s)) = E(Z(t+U)Z(s+U)) RY(t,s)=E(Y(t)Y(s))=E(Z(t+U)Z(s+U))

由于这个期望中具有两个随机变量，我们可以使用条件概率的方法，限制住其中一个的随机性，来求另外一个

RY(t,s)=EU(EZ(Z(t+U)Z(s+U)∣U))=E(RZ(t+U,s+U))=∫0TRZ(t+U,s+U)1TdUR_Y(t,s) = E_U(E_Z(Z(t+U)Z(s+U)|U)) \\ = E(R_Z(t+U,s+U)) \\ = \int_{0}^T R_Z(t+U,s+U) \frac{1}{T} dU RY(t,s)=EU(EZ(Z(t+U)Z(s+U)∣U))=E(RZ(t+U,s+U))=∫0TRZ(t+U,s+U)T1dU

因为我们希望找到期望是否只依赖于时间差，所以，我们可以对上面的积分进行换元处理

Let U′=U+sThen U=U′−sRY(t,s)=1T∫0+sT+sRZ(t−s+U′,U′)dU′\text{Let } U' = U+s \\ \text{Then } U = U' - s \\ R_Y(t,s) = \frac{1}{T}\int_{0+s}^{T+s} R_Z(t-s +U',U') dU' Let U′=U+sThen U=U′−sRY(t,s)=T1∫0+sT+sRZ(t−s+U′,U′)dU′

由于相关函数具有周期T，因此在一个周期内的积分与起点无关

RY(t,s)=1T∫0TRZ(t−s+U′,U′)dU′R_Y(t,s) = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} R_Z(t-s +U',U') dU' RY(t,s)=T1∫0TRZ(t−s+U′,U′)dU′

因此，我们就得到了一个只依赖于t-s的相关函数

因此，可以证明，对循环周期过程加一个随机的时间扰动，可以变成宽平稳随机过程。

2.3 条件期望

在刚才公式推导的过程中，用到了条件期望，这里简单介绍一下

Conditional Expectation\text{Conditional Expectation} Conditional Expectation

2.3.1 定义

条件期望的数学定义式，就是把概率密度函数变成了条件概率密度进行求解

Z,YE(Z∣Y)=∫−∞+∞ZfZ∣Y(z∣y)dzE(Z∣Y)is r.v.Z,Y \\ E(Z|Y) = \int_{-\infty}^{+\infty} Z f_{Z|Y} (z|y) dz \\ E(Z|Y) \text{ is r.v.} Z,YE(Z∣Y)=∫−∞+∞ZfZ∣Y(z∣y)dzE(Z∣Y) is r.v.

条件期望与普通期望的地方在于，条件期望是个随机变量。当我们要求解的式子中存在Z和Y两个随机变量的时候，我们往往会想采用逐个击破的办法进行求解。就是先抑制住Y的随机性，求解Z，然后把Z算完了之后，再暴露出Y的随机性。

2.3.2 条件期望的性质

(1)E(Z∣Y)is r.v.(1) \quad E(Z|Y) \text{ is r.v.} (1)E(Z∣Y) is r.v.
条件期望是随机变量

(2)E(Zg(Y)∣Y)=g(Y)E(Z∣Y)(2) \quad E(Zg(Y)|Y) = g(Y) E(Z|Y) (2)E(Zg(Y)∣Y)=g(Y)E(Z∣Y)

这个性质成立的原因在于，里面的函数g的随机性被抑制住了，在这个期望里面，Y没有随机性。没有随机性的东西，就可以放到期望外面进行求解。

(3)E(g(Z,Y))=EY(EZ(g(Z,Y)∣Y))(3) \quad E(g(Z,Y)) = E_Y(E_Z(g(Z,Y)|Y)) (3)E(g(Z,Y))=EY(EZ(g(Z,Y)∣Y))

2.3.3 条件期望的应用

这里对条件期望进行举例

我们假设有n个独立同分布的随机变量Z，则n个随机变量的均值可以表示为

E(Z1+...+Zn)=E(Z1)+...+E(Zn)=nE(Z1)E(Z_1 +...+Z_n) = E(Z_1) + ... +E(Z_n) = nE(Z_1) E(Z1+...+Zn)=E(Z1)+...+E(Zn)=nE(Z1)

现在，如果要求随机个独立同部分的随机变量Z的均值呢?

Nis r.v.E(Z1+...+ZN)N \text{ is r.v.} \\ E(Z_1 +...+Z_N) N is r.v.E(Z1+...+ZN)

这个时候就可以使用条件概率了，我们先抑制住N的随机性求均值，然后再来解决N的问题

E(Z1+...+ZN)=EN(EZ(Z1+...+ZN∣N))=EN(NE(Z1))=E(N)E(Z1)E(Z_1 +...+Z_N) = E_N(E_Z(Z_1+...+Z_N |N)) = E_N(NE(Z_1)) = E(N)E(Z_1) E(Z1+...+ZN)=EN(EZ(Z1+...+ZN∣N))=EN(NE(Z1))=E(N)E(Z1)

2.4 循环平稳过程的应用–PAM

2.4.1 PAM概述

举一个循环平稳随机过程的例子

PAM pulse amplititude modulation ⇒Communication\text{PAM pulse amplititude modulation }\Rightarrow \text{Communication} PAM pulse amplititude modulation ⇒Communication

脉冲幅度调制。这是一种用于通讯中的调整信号

Z(t)=∑k=−∞+∞αkϕ(t−kT)ϕ:Baseband WaveformT:Symbol Widthαk:Information BitsE(αkαm)=Rα(k−m)Z(t) = \sum_{k = -\infty}^{+\infty} \alpha_k \phi(t-kT) \\ \phi: \text{Baseband Waveform} \\ T: \text{Symbol Width} \\ \alpha_k:\text{Information Bits} \\ E(\alpha_k \alpha_m) = R_\alpha(k-m) Z(t)=k=−∞∑+∞αkϕ(t−kT)ϕ:Baseband WaveformT:Symbol Widthαk:Information BitsE(αkαm)=Rα(k−m)

其中φ被称为基带波形，是用来做信号调制的载波的

T叫做符号宽度。每一种符号代表一种信息

α是信息位，携带比特流信息。我们假设α是宽平稳的

PAM有很多种，比如BPSK、QPSK、QAM

BPSK二元移相键控QPSK四元移相键控QAM5G使用的一种信号调制技术BPSK \text{ 二元移相键控} QPSK \text{ 四元移相键控} QAM \text{ 5G使用的一种信号调制技术} BPSK 二元移相键控QPSK 四元移相键控QAM 5G使用的一种信号调制技术

这里画一下BPSK的波形

BPSK就是把数字信息调制到了连续的信号中。我们不能使用方波传输信号，因为高频分分量太多了，不好传输。而且方波边沿跳变会有过度带，如果方波频率高了，密集了，没有办法1识别。

因此，我们会设计到基带波形，避免码间串扰。

我们可以发现BPSK的方法，是一种低阶的调制技术。因为每一个波形只能传达1bit的信息，并且这个信号中只有0和pi两个相位。

如果我们希望更加充分的利用相位信号传递信息，我们可以增加相位。

Constellation\text{Constellation} Constellation

比如我们分成四个相位，每个相位携带两个bit的信息，QPSK就是这么做的。只要我们不断的增加相位，就能够增加每次传递的信息长度。比如QAM一个信息位可以传递64bit的数据

这种表示相位划分的图，在通讯中叫做星座图。就是把相位映射为符号位，然后再映射为比特流。

2.4.2 PAM的时域分析

现在我们求一下PAM的相关函数。

RZ(t,s)=E(∑kαkϕ(t−kT)∑mαmϕ(s−mT))=∑k∑mE(αkαm)ϕ(t−kT)ϕ(s−mT)=∑k∑mRα(k−m)ϕ(t−kT)ϕ(s−mT)R_Z(t,s) = E(\sum_k \alpha_k \phi(t-kT)\sum_m \alpha_m \phi(s-mT)) \\ = \sum_k \sum_m E(\alpha_k \alpha_m) \phi(t-kT) \phi (s- mT) \\ = \sum_k \sum_m R_\alpha(k-m) \phi(t-kT) \phi (s- mT) RZ(t,s)=E(k∑αkϕ(t−kT)m∑αmϕ(s−mT))=k∑m∑E(αkαm)ϕ(t−kT)ϕ(s−mT)=k∑m∑Rα(k−m)ϕ(t−kT)ϕ(s−mT)

我们发现PAM的相关函数并不是依赖于s和t的差值的，因此确实不是一个宽平稳随机过程。但是这个相关函数确实是以T为周期的，因此PAM是个循环平稳过程。

我们对PAM加一个随机相位，把PAM变成一个宽平稳随机过程来进行分析。事实上，在通讯中，加一个随机相位是非常正常的，因为我们不可能确定发信号的位置

RY(t,s)=E(Y(t)Y(s))=E(Z(t+U)Z(s+U))=1T∫0TRZ(t+U,s+U)dU=1T∫0T∑k∑mRα(k−m)ϕ(t−kT+U)ϕ(s−mT+U)dUR_Y(t,s) = E(Y(t)Y(s)) = E(Z(t+U)Z(s+U)) \\ = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} R_Z(t+U,s+U) dU \\ = \frac{1}{T} \int_{0}^{T}\sum_k \sum_m R_\alpha(k-m) \phi(t-kT+U) \phi (s- mT+U) dU RY(t,s)=E(Y(t)Y(s))=E(Z(t+U)Z(s+U))=T1∫0TRZ(t+U,s+U)dU=T1∫0Tk∑m∑Rα(k−m)ϕ(t−kT+U)ϕ(s−mT+U)dU

首先进行连续积分变量的换元

Let U′=s+URY(t,s)=1T∫0T∑k∑mRα(k−m)ϕ(t−s−kT+U′)ϕ(U′−mT)dU′\text{Let } U' = s+U R_Y(t,s) = \frac{1}{T} \int_{0}^{T}\sum_k \sum_m R_\alpha(k-m) \phi(t-s-kT+U') \phi (U'- mT) dU' Let U′=s+URY(t,s)=T1∫0Tk∑m∑Rα(k−m)ϕ(t−s−kT+U′)ϕ(U′−mT)dU′

但是这个式子看起来还是不够简洁，下面我们进行离散的换元

相比于积分换元，离散换元只需要做两件事情

换元
换求和区间

这里面因为求和区间是无穷长度，因此不需要改变求和区间

Let k′=k−mLet ′=mThen RY(t,s)=1T∫0T∑k′∑m′Rα(k′)ϕ(t−s−(k′+m′)T+U′)ϕ(U′−m′T)dU′\text{Let } k' = k-m \\ \text{Let } ' = m \\ \text{Then } R_Y(t,s) = \frac{1}{T} \int_{0}^{T}\sum_{k'} \sum_{m'} R_\alpha(k') \phi(t-s-(k'+m')T+U') \phi (U'- m'T) dU' Let k′=k−mLet ′=mThen RY(t,s)=T1∫0Tk′∑m′∑Rα(k′)ϕ(t−s−(k′+m′)T+U′)ϕ(U′−m′T)dU′

接下来，我们先求积分，再求累加和

RY(t,s)=1T∑k′∑m′Rα(k′)∫0Tϕ(t−s−(k′+m′)T+U′)ϕ(U′−m′T)dU′R_Y(t,s) = \frac{1}{T} \sum_{k'} \sum_{m'} R_\alpha(k') \int_{0}^{T}\phi(t-s-(k'+m')T+U') \phi (U'- m'T) dU' RY(t,s)=T1k′∑m′∑Rα(k′)∫0Tϕ(t−s−(k′+m′)T+U′)ϕ(U′−m′T)dU′

继续进行换元

Let U′′=U′−m′TThen RY(t,s)=1T∑k′∑m′Rα(k′)∫−m′T−(m′−1)Tϕ(t−s−k′T+U′′)ϕ(U′′)dU′′\text{Let }U'' = U' - m'T \\ \text{Then } \\ R_Y(t,s) = \frac{1}{T} \sum_{k'} \sum_{m'} R_\alpha(k') \int_{-m'T}^{-(m'-1)T}\phi(t-s-k'T+U'') \phi (U'') dU'' Let U′′=U′−m′TThen RY(t,s)=T1k′∑m′∑Rα(k′)∫−m′T−(m′−1)Tϕ(t−s−k′T+U′′)ϕ(U′′)dU′′

我们发现，m的累加和能够使得积分一段一段的拼接起来，成立无穷区间的积分

RY(t,s)=1T∑k′Rα(k′)∫−∞+∞ϕ(t−s−k′T+U′′)ϕ(U′′)dU′′R_Y(t,s) = \frac{1}{T} \sum_{k'} R_\alpha(k') \int_{-\infty}^{+\infty}\phi(t-s-k'T+U'') \phi (U'') dU'' RY(t,s)=T1k′∑Rα(k′)∫−∞+∞ϕ(t−s−k′T+U′′)ϕ(U′′)dU′′

Let τ=t−s−k′TThen RY(t,s)=∑k′Rα(k′)1T∫−∞+∞ϕ(U′′+τ)ϕ(U′′)dU′′\text{Let } \tau = t-s-k'T \\ \text{Then } \\ R_Y(t,s) = \sum_{k'} R_\alpha(k') \frac{1}{T} \int_{-\infty}^{+\infty}\phi(U''+\tau) \phi (U'') dU'' Let τ=t−s−k′TThen RY(t,s)=k′∑Rα(k′)T1∫−∞+∞ϕ(U′′+τ)ϕ(U′′)dU′′

我们发现后面是一个连续时间的相关函数R_φ

Time CorrelationRϕ(τ)=∫−∞+∞ϕ(U′′+τ)ϕ(U′′)dU′′\text{Time Correlation} R_{\phi}(\tau) = \int_{-\infty}^{+\infty}\phi(U''+\tau) \phi (U'') dU'' Time CorrelationRϕ(τ)=∫−∞+∞ϕ(U′′+τ)ϕ(U′′)dU′′

则相关函数可以表示为

RY(t,s)=∑k′Rα(k′)1TRϕ(τ)=1T∑k′Rα(k′)Rϕ(t−s−k′T)=RY(t−s)R_Y(t,s) = \sum_{k'} R_\alpha(k')\frac{1}{T} R_{\phi}(\tau) \\ = \frac{1}{T}\sum_{k'} R_\alpha(k') R_{\phi}(t-s-k'T ) \\ =R_Y(t-s) RY(t,s)=k′∑Rα(k′)T1Rϕ(τ)=T1k′∑Rα(k′)Rϕ(t−s−k′T)=RY(t−s)

最终我们得到了一个宽平稳随机过程的相关函数

2.4.3 PAM的频域分析

我们得到了宽平稳随机过程之后，就可以利用得到的相关函数求功率谱了

Let τ=t−sSY(ω)=∫−∞+∞RY(τ)exp(−jωτ)dτ=∫−∞+∞1T∑k′Rα(k′)Rϕ(τ−k′T)exp(−jωτ)dτ\text{Let } \tau = t-s \\ S_Y(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} R_Y(\tau) exp(-j\omega \tau) d\tau \\ = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T}\sum_{k'} R_\alpha(k') R_{\phi}(\tau -k'T ) exp(-j\omega \tau) d\tau Let τ=t−sSY(ω)=∫−∞+∞RY(τ)exp(−jωτ)dτ=∫−∞+∞T1k′∑Rα(k′)Rϕ(τ−k′T)exp(−jωτ)dτ

换元

Let τ′=τ−k′TSY(ω)=1T∑k′Rα(k′)exp(−jk′Tω)∫−∞+∞Rϕ(τ′)exp(−jωτ′)dτ\text{Let } \tau' = \tau - k'T \\ S_Y(\omega) = \frac{1}{T}\sum_{k'} R_\alpha(k')exp(-jk'T\omega) \int_{-\infty}^{+\infty} R_{\phi}(\tau' ) exp(-j\omega \tau') d\tau Let τ′=τ−k′TSY(ω)=T1k′∑Rα(k′)exp(−jk′Tω)∫−∞+∞Rϕ(τ′)exp(−jωτ′)dτ
我们发现换元以后，前面得到一个离散傅里叶变换，后面得到一个连续的傅里叶变换

SY(ω)=1TSα(Tω)Sϕ(ω)S_Y(\omega) = \frac{1}{T} S_{\alpha}(T \omega) S_{\phi}(\omega) SY(ω)=T1Sα(Tω)Sϕ(ω)

我们发现PAM的功率谱就是一个离散版本的功率谱与一个连续版本功率谱的乘积。最终得到信号的功率谱，就是基带信号的功率谱乘以信息位信号的功率谱。

因此，设计基带信号的时候，最好的让传递信号的谱刚好在基带信号的谱中。如果基带信号的功率谱很宽，传递信号的功率谱很窄，就会造成性能浪费。而如果基带信号的功率谱很窄，传递信号的功率谱很宽，就会造成信号失真。基带信号的功率谱应该比传递信号适当的宽一些。

这个式子中，我们也可以把α看做是原始信号，基带信号看做是线性系统，让数字信号通过一个线性系统之后，得到了一个新的信号

SY(ω)=1TSα(Tω)Sϕ(ω)=1TSα(Tω)∣H(ω)∣2S_Y(\omega) = \frac{1}{T} S_{\alpha}(T \omega) S_{\phi}(\omega) = \frac{1}{T} S_{\alpha}(T \omega) |H(\omega)|^2 SY(ω)=T1Sα(Tω)Sϕ(ω)=T1Sα(Tω)∣H(ω)∣2

我们这样表示原始信号

Z(t)=∑k=−∞+∞αkδ(t−kT)Z(t) = \sum_{k = -\infty}^{+\infty} \alpha_k \delta(t-kT) Z(t)=k=−∞∑+∞αkδ(t−kT)

原始信号通过线性系统得到PAM

Z(t)→ϕ→Z(t)‾Z(t)\rightarrow \boxed{\phi} \rightarrow \overline{Z(t)} \\ Z(t)→ϕ→Z(t)

时域响应
Z(t)‾=Z(t)⊛ϕ(t)=∑k=−∞+∞αkδ(t−kT)⊛ϕ(t)=∑k=−∞+∞αkϕ(t−kT)\overline{Z(t)} = Z(t) \circledast \phi(t) \\ = \sum_{k = -\infty}^{+\infty} \alpha_k \delta(t-kT) \circledast \phi(t) \\ = \sum_{k = -\infty}^{+\infty} \alpha_k \phi(t-kT) Z(t)=Z(t)⊛ϕ(t)=k=−∞∑+∞αkδ(t−kT)⊛ϕ(t)=k=−∞∑+∞αkϕ(t−kT)

循环增量过程在通讯中是非常常见的

3. 正交增量过程

3.1 定义

我们接下来研究第二种非平稳随机过程–正交增量过程

Orthogonal Increment\text{Orthogonal Increment} Orthogonal Increment

正交增量过程一般定义零点时值为0。在正交增量过程中，任取四个连续的点，不重叠的时间增量是正交的

Z(0)=0∀t1<t2≤t3<t4Z(t4)−Z(t3)⊥Z(t2)−Z(t1)Z(0) = 0 \\ \forall t_1 < t_2 \leq t_3 < t_4 \\ Z(t_4) - Z(t_3) \perp Z(t_2) - Z(t_1) Z(0)=0∀t1<t2≤t3<t4Z(t4)−Z(t3)⊥Z(t2)−Z(t1)

正交就是内积为0，随机变量的内积就是求相关，即

E(Z(t4)−Z(t3))(Z(t2)−Z(t1))=0E(Z(t_4) - Z(t_3))(Z(t_2) - Z(t_1)) = 0 E(Z(t4)−Z(t3))(Z(t2)−Z(t1))=0

3.2 时域分析

下面我们求一下正交增量过程的相关函数，看看是否确实是不平稳的

RZ(t,s)=E(Z(t)Z(s))=E((Z(t)−Z(s)+Z(s))Z(s))=E((Z(t)−Z(s))(Z(s)−Z(0))+E(Z2(s))=E(Z2(s))R_Z(t,s) = E(Z(t)Z(s)) \\ = E((Z(t)-Z(s)+Z(s))Z(s)) \\ = E((Z(t)-Z(s))(Z(s)-Z(0)) + E(Z^2(s)) \\ = E(Z^2(s)) RZ(t,s)=E(Z(t)Z(s))=E((Z(t)−Z(s)+Z(s))Z(s))=E((Z(t)−Z(s))(Z(s)−Z(0))+E(Z2(s))=E(Z2(s))

因为我们对于正交增量过程，只有一个正交性的特性，我们要想使用上，就必须把随机过程拆开。我们发现正交增量过程的相关，得到的就是较小的那个点的自相关。因此，确实相关函数不是依赖于时间差的，不是平稳过程。

我们就得到了相关函数

RZ(t,s)=E(Z2(s))=g(s)=g(min(s,t))R_Z(t,s) = E(Z^2(s)) = g(s) = g(min(s,t)) RZ(t,s)=E(Z2(s))=g(s)=g(min(s,t))

这个结论是正交增量过程的特征式子。

我们可以验证一下

E((Z(t4)−Z(t3)(Z(t2)−Z(t1)))=RZ(t4,t1)+RZ(t3,t1)−RZ(t3,t2)−RZ(t4,t1)=g(t2)+g(t1)−g(t2)−g(t1)=0E((Z(t_4)-Z(t_3)(Z(t_2)-Z(t_1))) \\ = R_Z(t4,t1) +R_Z(t_3,t_1)- R_Z(t_3,t_2)-R_Z(t_4,t_1) \\ = g(t_2) +g(t_1) -g(t_2)-g(t_1) = 0 E((Z(t4)−Z(t3)(Z(t2)−Z(t1)))=RZ(t4,t1)+RZ(t3,t1)−RZ(t3,t2)−RZ(t4,t1)=g(t2)+g(t1)−g(t2)−g(t1)=0

通过这个式子确实能够得到正交增量过程的特性

3.3 正交增量过程的应用–布朗运动

3.3.1 概述

正交增量过程的典型应用就是布朗运动

布朗运动的增量服从高斯分布

Brown Motion\text{Brown Motion} Brown Motion

(1)B(0)=0(2)Orthorgonal Increment(3)B(t)−B(s)∼N(0,σ2(t−s))(1) \quad B(0) = 0 \\ (2) \quad \text{Orthorgonal Increment} \\ (3) \quad B(t) - B(s) \sim N(0,\sigma^2(t-s)) (1)B(0)=0(2)Orthorgonal Increment(3)B(t)−B(s)∼N(0,σ2(t−s))

3.3.2 时域分析

下面，我们来求一下布朗运动的相关函数

RB(t,s)=E(B2(s))=σ2s=σ2min(t,s)R_B(t,s) = E(B^2(s)) = \sigma^2s = \sigma^2 min(t,s) RB(t,s)=E(B2(s))=σ2s=σ2min(t,s)

接下来，我们求一下布朗运动的导数，并基于这个导数求相关

事实上，布朗运动其实是处处连续，处处不可微的，这里求导数的操作涉及到背后的知识全部省略，但是公式一定是对的，我们只讲述本质的道理

Y(t)=ddtB(t)RY(t,s)=E(ddtB(t)ddsB(s))=∂2∂t∂sE(B(t)B(s))=∂2∂t∂sRB(t,s)=σ2∂2∂t∂smin(t,s)=σ2∂2∂t∂smin(t,s)=σ2∂2∂t∂s(12(s+t−∣s−t∣))Y(t) = \frac{d}{dt} B(t) \\ R_Y(t,s) = E(\frac{d}{dt} B(t) \frac{d}{ds} B(s)) \\ = \frac{\partial^2}{\partial t \partial s} E(B(t)B(s)) \\ = \frac{\partial^2}{\partial t \partial s} R_B(t,s) = \sigma^2 \frac{\partial^2}{\partial t \partial s} min(t,s) \\ = \sigma^2 \frac{\partial^2}{\partial t \partial s} min(t,s) \\ = \sigma^2 \frac{\partial^2}{\partial t \partial s} (\frac{1}{2}(s+t - |s-t|)) Y(t)=dtdB(t)RY(t,s)=E(dtdB(t)dsdB(s))=∂t∂s∂2E(B(t)B(s))=∂t∂s∂2RB(t,s)=σ2∂t∂s∂2min(t,s)=σ2∂t∂s∂2min(t,s)=σ2∂t∂s∂2(21(s+t−∣s−t∣))

我们要对绝对值求导。从广义函数理论来说，绝对值求导得到的就是符号函数。虽然，零点不可导，但是我们不关心了。

Generalized Functions⇒L. Schwartz\text{Generalized Functions} \Rightarrow \text{L. Schwartz} Generalized Functions⇒L. Schwartz

d∣x∣dx=sgn(x)\frac{d|x|}{dx} = sgn(x) dxd∣x∣=sgn(x)

有了绝对值求导之后，继续做

Y(t)=σ2∂2∂t∂s(12(s+t−∣t−s∣))=σ22∂∂tsgn(t−s)Y(t) = \sigma^2 \frac{\partial^2}{\partial t \partial s} (\frac{1}{2}(s+t - |t-s|)) \\ = \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial}{\partial t } sgn(t-s) Y(t)=σ2∂t∂s∂2(21(s+t−∣t−s∣))=2σ2∂t∂sgn(t−s)

符号函数继续求导，得到的是两倍的冲激信号

我们知道阶跃函数求导得到的是冲激信号，而符号函数就是两个阶跃信号的差

ddxU(x)=δ(x)U(x)={1x ≥00x <0dsgn(x)=U(x)−U(−x)ddxsgn(x)=2δ(x)\frac{d}{dx} U(x) = \delta(x) \\ U(x) = \begin{cases} 1 &\text{x } \geq 0 \\ 0 &\text{x } < 0 d \end{cases} \\ sgn(x) = U(x) - U(-x) \\ \frac{d}{dx} sgn(x) = 2\delta(x) dxdU(x)=δ(x)U(x)={10x ≥0x <0dsgn(x)=U(x)−U(−x)dxdsgn(x)=2δ(x)

继续求相关函数
Y(t)=σ22∂∂tsgn(t−s)=σ2δ(t−s)Y(t) = \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial}{\partial t } sgn(t-s) \\ = \sigma^2 \delta(t-s) Y(t)=2σ2∂t∂sgn(t−s)=σ2δ(t−s)

我们发现，布朗运动求导之后得到的随机过程的相关函数，就是白噪声。所谓白噪声，就是每个频点处都有能量，并且每个频点处能量都是相等的

我们也发现，刚才通过求导，为我们把非平稳的过程变成了一个宽平稳的过程。

3.3.3 平稳分量与非平稳分量

这里我们考察另外一个问题。对于一个时间序列，平稳性体现在什么地方?是大的变化趋势，还是上面的毛刺部分呢?

事实上，毛刺部分代表的是平稳分量。因为趋势一直在变，一定是非平稳的，而毛刺可以在统计上找到不变的特性。

Tend⇒Non-Stationary\text{Tend} \Rightarrow \text {Non-Stationary} Tend⇒Non-Stationary

这里也要明确一点，求导是高通滤波，放过的是高频分量，得到的是边缘信息。而积分是低通滤波，得到的是低频分量，也就是轮廓信息。

因此，一个时间序列经过高通处理之后，可以变成是平稳的。

3.3.4 伊藤公式与随机微分方程

(1) 随机过程的导数与伊藤公式

下面我们研究一个函数，依赖于时间和布朗运动两个参数

f(t,B(t))f(t,B(t)) f(t,B(t))

如果我们想求这个函数的微分，怎么求?

如果我们直接按照确定性方程的求导方法，会得到什么呢?
df(t,B(t))=∂f∂tdt+∂f∂BdB(t)df(t,B(t)) = \frac{\partial f}{\partial t} dt + \frac{\partial f}{\partial B} dB(t) df(t,B(t))=∂t∂fdt+∂B∂fdB(t)

看似是对的，其实不然，我们可以分析一下

表示一下布朗运动的导数

B(t)∼N(0,σ2t)dB(t)=B(t+dt)−B(t)∼N(0,σ2dt)B(t) \sim N(0,\sigma^2 t) \\ dB(t) = B(t +dt) -B(t) \sim N(0,\sigma^2 dt) B(t)∼N(0,σ2t)dB(t)=B(t+dt)−B(t)∼N(0,σ2dt)

根据高斯分布的性质，可以得到

E(dB(t))2=σ2dtE(dB(t) )^2 = \sigma^2 dt E(dB(t))2=σ2dt

因此，我们可以发现，布朗运动微分的平方与t的微分是同阶的，也就是布朗运动得到微分是半阶dt

(dB(t))2∼dt⇒dB(t)∼dt(dB(t))^2 \sim dt \\ \Rightarrow dB(t) \sim \sqrt{dt} (dB(t))2∼dt⇒dB(t)∼dt

这样的话，我们再看我们的微分，就感觉不对了。首先看微分的定义，微分是求函数自变量和因变量之间的变化率。我们希望用简单的线性变化去描述局部的关系。因此，微分得到的结果应该是df和dt之间的一种一阶微分关系，这里得到的df与dB的导数，并没有得到df与dt的一阶关系，因此，我们这个求导用的泰勒展开，还需要再来一阶才行。
df(t,B(t))=∂f∂tdt+∂f∂BdB(t)xdf(t,B(t)) = \frac{\partial f}{\partial t} dt + \frac{\partial f}{\partial B} dB(t) \quad \text{x} df(t,B(t))=∂t∂fdt+∂B∂fdB(t)x
df(t,B(t))=∂f∂tdt+∂f∂BdB(t)+12∂2f∂B2(dB(t))2vdf(t,B(t)) = \frac{\partial f}{\partial t} dt + \frac{\partial f}{\partial B} dB(t) +\frac{1}{2} \frac{\partial^2f}{\partial B^2}(dB(t))^2 \quad \text{v} df(t,B(t))=∂t∂fdt+∂B∂fdB(t)+21∂B2∂2f(dB(t))2v

得到的这个结果就叫做伊藤公式

Ito Formuladf(t,B(t))=∂f∂tdt+∂f∂BdB(t)+12∂2f∂B2(dB(t))2\text{Ito Formula} \\ df(t,B(t)) = \frac{\partial f}{\partial t} dt + \frac{\partial f}{\partial B} dB(t) +\frac{1}{2} \frac{\partial^2f}{\partial B^2}(dB(t))^2 Ito Formuladf(t,B(t))=∂t∂fdt+∂B∂fdB(t)+21∂B2∂2f(dB(t))2

伊藤公式告诉我们，对随机过程求微分，我们需要考虑更多的东西，因为这和确定性的微分并不是一样的。

(2) 随机微分方程

我们可以再来看看积分的事情

∫01B(t)dB(t)=12dB2(t)x\int_0^1 B(t) dB(t) = \frac{1}{2} d B^2(t) \quad \text{x} ∫01B(t)dB(t)=21dB2(t)x

这个式子怎么求积分呢?显然，直接把B(t)提出来并且把0和1代入是肯定不对的

我们用伊藤公式进行展开，来计算B(t)dB(t)应该如何表述

12dB2(t)=B(t)dB(t)+12dt\frac{1}{2} d B^2(t) = B(t)dB(t) + \frac{1}{2} dt 21dB2(t)=B(t)dB(t)+21dt

B(t)dB(t)=12dB2(t)−12dtB(t)dB(t) = \frac{1}{2} d B^2(t) - \frac{1}{2} dt B(t)dB(t)=21dB2(t)−21dt

所以，我们的积分可以表示为

∫01B(t)dB(t)=∫0112dB2(t)−12dt=(12B2(t)−12t)∣01\int_0^1 B(t) dB(t) = \int_0^1\frac{1}{2} d B^2(t) - \frac{1}{2} dt \\ = (\frac{1}{2}B^2(t) - \frac{1}{2}t)|_0^1 ∫01B(t)dB(t)=∫0121dB2(t)−21dt=(21B2(t)−21t)∣01

这就是随机微分方程，随机微分方程的主要工作是由伊藤清做的

Stochastic Calculus\text{Stochastic Calculus} Stochastic Calculus

3.3.5 期权定价问题

Option Pricing\text{Option Pricing} Option Pricing

期权定价问题是布朗运动和伊藤公式的典型应用，下面进行简要介绍。

(1) 布朗运动与金融建模

由于布朗运动具有不可预测性，经常被用来对股票价格进行建模，这个工作是1900年由bacheliar做的。其导师是庞加莱

B(t)Brown Motion→Stock Price Modeling(Bacheliar)B(t) \quad \text{Brown Motion} \rightarrow \text{ Stock Price Modeling(Bacheliar)} B(t)Brown Motion→ Stock Price Modeling(Bacheliar)

但是这个事情被人诟病，因为布朗运动有时候是负的，但是股票价格不可能是负的，因此，人们提出了新的随机过程来进行描述，把布朗运动1放到了指数里面，并做了进一步的改进

S(t)=exp(B(t))→exp(ut+B(t))S(t) = exp(B(t)) \rightarrow exp(ut +B(t)) S(t)=exp(B(t))→exp(ut+B(t))

这个模型包括两部分，一部分是短时的变化趋势，另外一部分是布朗运动带来的价格波动。这个模型被叫做几何布朗运动，是金融学奠基人萨缪尔森做出的工作

Geometric Brown Motion→Samuelson\text{Geometric Brown Motion} \rightarrow \text{Samuelson} Geometric Brown Motion→Samuelson

(2) 期权与对冲问题

然后我们介绍一下，什么是期权。

我们直接买卖股票的风险是非常高的，因为我们没有办法控制股票的涨落。

如果我们去买一个期权，就不一样了。期权是买卖股票的权利，在一个固定时间去买卖股票的权利。买卖股票有两种形式，一种是股价5块钱，然后花了五块钱去买了股票。另一种是，别人手里有5块钱的股票，我们不直接买股票，而是买他股票的权利。我们决定明天买他的股票，因为股票明可能会涨。我们约定明天用5.2来买这个股票。然后我们花1毛钱来买这个权利，就是明天花5.2来买这个股票的权利。现在，对于卖者来说，今天已经赚了1毛钱，如果明天股票跌了，还是能以5.2卖出。但是如果明天股票涨了，可能就会亏一点。对于买者来说，也还好，如果明天股票涨价到了8块，我们可以使用购买的权利，用5.2来买股票。但是如果明天股票跌了，我们可以放弃期权，因为买方有权决定是否要这个期权。因此，买家顶多就损失1毛钱。

因此，期权是一个依赖于购买时间和股票价格的二元函数,时间越久，期权会越贵，股票价格越高，期权会越贵。

V(t,S(t))V(t,S(t)) V(t,S(t))

因此，期权是一个很好的规避风险的工具，能够帮助抗拒风险。我们可以进一步降低风险，就是进行资产组合。做资产组合是能够做对冲的。
HedgingHedging Hedging

接着上面的例子。我们要买期权，要付那1毛钱，这一毛钱哪里来? 这个钱应该通过卖掉手里的股票来付。如果没有的话，借股票来卖，这是一种对冲。对冲的意思就是要把风险降下来。就是不管股票涨还是跌，我们的损失都不会很大。

卖股票买期权就能够达到这个目的。如果股票涨了，这个时候卖股票就吃亏了，但是买期权的地方就会赚。如果股票跌了，买期权就亏了，可是我们就实现了股票高点的套现。

金融里面，最重要的不是赚钱，而是活下去，不出局。因此金融的设计理念就是规避风险。因此，我们要做资产组合，资产应该包括期权和卖掉的股票，其中st是股票，因为卖掉是负资产。得到的就是总资产。

P(t)=V(t,S(t))−αS(t)P(t) = V(t,S(t)) - \alpha S(t) P(t)=V(t,S(t))−αS(t)

(3) 期权定价

然后，我们就可以来研究，期权价格到底要定多少，可以规避风险。有一个基本原理，总资产的微分应该等于等额的资产存到银行里面获得的收益。r是银行利率。如果金融玩不过银行利率，就别玩金融了

P(t)=V(t,S(t))−αS(t)dP(t)=rP(t)dtr: Interest RateP(t) = V(t,S(t)) - \alpha S(t) \\ dP(t) = rP(t)dt \quad r \text{ : Interest Rate} P(t)=V(t,S(t))−αS(t)dP(t)=rP(t)dtr : Interest Rate

然后我们来求解

表示一下股票价格的微分
dS(t)=dexp(ut+B(t))=S(t)udt+S(t)dB(t)+12S(t)dtdS(t) = d exp(ut +B(t)) \\ = S(t) u dt +S(t) dB(t) +\frac{1}{2} S(t)dt dS(t)=dexp(ut+B(t))=S(t)udt+S(t)dB(t)+21S(t)dt

表示一下总资产的微分

dP(t)=dV(t,S)−αdS=∂V∂tdt+∂V∂SdS+12∂2V∂S2dS2−αdSdP(t) = dV(t,S) - \alpha dS \\ = \frac{\partial V}{\partial t} dt +\frac{\partial V}{\partial S} dS + \frac{1}{2}\frac{\partial ^2V}{\partial S^2} dS^2 - \alpha dS dP(t)=dV(t,S)−αdS=∂t∂Vdt+∂S∂VdS+21∂S2∂2VdS2−αdS

我们对dS进行平方，所有dt的高阶项都不要了，但是会留下其中一项

(dS(t))2=(S(t)udt+S(t)dB(t)+12S(t)dt)2=(S(t)dB(t))2=S2(t)dt(dS(t))^2 = (S(t) u dt +S(t) dB(t) +\frac{1}{2} S(t)dt)^2 \\ = (S(t) dB(t))^2 = S^2(t) dt (dS(t))2=(S(t)udt+S(t)dB(t)+21S(t)dt)2=(S(t)dB(t))2=S2(t)dt

代入

dP(t)=∂V∂tdt+∂V∂SdS+12∂2V∂S2S2(t)dt−αdSdP(t) =\frac{\partial V}{\partial t} dt +\frac{\partial V}{\partial S} dS + \frac{1}{2}\frac{\partial ^2V}{\partial S^2} S^2(t) dt - \alpha dS dP(t)=∂t∂Vdt+∂S∂VdS+21∂S2∂2VS2(t)dt−αdS

由于dS是随机项，必须消掉，可以求得α

α=∂V∂S\alpha = \frac{\partial V}{\partial S} α=∂S∂V

α的取法，就是对冲策略，相当于我卖多少股票，来买一份期权。这是一种最简单的对冲策略。

然后我们就得到了期权价格变动的公式。这个公式叫做

Black Scholes\text{Black Scholes} Black Scholes

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