如何遍历组合数？（不是求组合数，含代码）

1、遍历组合数的方法原理

组合数是高中代数的知识，这里我就不废话了。

这里讨论的是如何遍历组合数。举个例子，一个电影院里面，有十个座位和8个客人，到底有多少种坐法？（不考虑客人之间的相互位置。）高中组合数的知识告诉我们答案是C = 10 * 9 / 1 * 2 = 45种。

多少种坐法现在我们知道了，现在我们来考虑另外一个变态一点的问题，能不能把45种坐法都罗列出来。

这里给每个座位都编个号（假设第一个座位编号为0），这样就可以列举一些可能的坐法出来:

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 1 2 3 4 5 6 7 9

0 1 2 3 4 5 6 8 9

0 1 2 3 4 5 7 8 9

0 1 2 3 4 6 7 8 9

............

上面的例子来说，对于一般人来说可能还不是很困难，反正也就是45个而已嘛，一个个数总可以数出来。但如果改变题法，比如，50个座位坐5个客人，这样的组合数就达到百万级了，这样的任务对于人来说就已经很困难。

因为组合数的增长速度近似于是指数级的增长，所以靠人肉眼去数是绝对数不过来的，那靠计算机能否实现呢？当然能。不过这需要用到一些数学上面的小技巧。下面的定理给出了这种遍历方法的数学原理。

定理1 设由n个正整数组成的整数集S里，存在着一个固定长度l的有序数列A { $A | a{_{n}} \epsilon S, 0 < n <= l, a{_{n-1}} < a{_{n}}$ }，则由所有满足这种关系的序列所组成的序列集{ $A' | a_{n} \epsilon A, A \epsilon A'$ }，就是S关于l的所有组合。

证明：证明该定理，核心是证明是否所有可能的组合情况都能通过序列A的形式表现出来。

（反证法）假设存在着一种整数组合B不满足A的条件，现设 $b{_{k}} > b{_{k + 1}}$ ，互换这两个数的位置，仍可以使第k位和第k+1位满足约束关系。但互换这两个位置后，原来的次序大小关系可能会被打破。但因为组成B的数都是正整数，根据自然数的良序关系，通过在B内进行位置的互换，总能找到一个子序列B'使 $b{_{k}} < b{_{q}}, k < q < l$ 。因此通过对B内的数字进行位置互换，总有一个办法使B满足A的约束条件。这与假设矛盾，命题成立。

简而言之，就是在整数集内任意取l个值，总能取出一个按序递增（减）的数列。这听起来像废话，但结论却很重要。这给出了一个在工程上遍历所有组合情况的思路。

2、算法步骤

以由小（大）到大（小）的顺序按最小步长依次初始化数组的各个元素。其中数组的第一个元素为数集的最小（大）元素。
从数组最后一位开始加(减)最小步长
当最后一位遇到溢出（溢出的阀值由整数集的大小确定）时，向前（向后）进位。
若前（后）一位也继续溢出时，继续向前(后)进位，直至不再溢出，或已经溢出到最前一位，算法结束。
输出数组的值，然后继续执行2直至算法结束。

下面证明该算法能遍历所有可能的整数组合。

证明：如果将数组看成是一个n进制数，那么数组的每一位元素就相当于各个数位上的值。因为初始化的时候是以从小到大的顺序排列，且最高位为数集中最小的数字S0。所以初始化时构造出的数值（假设为Xmin）必定是最小的。现在按最小步长增加数组的数值，在数组长度有限和可取数字有限的情况下，必定能取遍(Xmin,Xmax)所有的数字组合。

现假设某个数字组合B不能透过上述算法取得，那么这个数字组合对应的n进制数Vb要么大于Xmax，要么小于Xmin。

先考虑Vb < Xmin的情况，Vb < Xmin，意味着在Vb某个高位上存在着一个整数值v 小于Xmin对应位置的值。我们对数值上的所有位从高到低来进行讨论（因为如果低位数值大，但高位数值小，实际的数值也是比原来小）由于最高位数值已经是最小值，不能再小，所以，只能选择次高位。但次高位除非取最小值S0，否则，无法达到比Xmin小的效果。但一旦取S0，组合B就不再是组合数，与原来的题设矛盾。同样的讨论可以继续进行，对后面各位的讨论会发现，除非取前面相同的数字，否则无法找到另外一个数能使Vb < Xmin。因此Vb 一定不小于Xmin.

再来讨论Vb > Xmax的情况，由于讨论最大值的情况也是相似，可以发现每一位，除非取后面相同的值，否则没法达到Vb > Vmax的效果。

由此，可以明确地知道该算法的确能遍历所有组合数。

3、遍历算法的意义

由于组合数的增长是很可观的，即便计算机硬件技术发展到今天，恐怕也没有哪个程序会去求解所有排列组合情况。遍历算法的意义在于，可以在不需要考虑所有排列组合的情况下，挑出心目中最满意的组合。

还是举上面那个例子，假设每个客人对座位的要求都是挑剔的，如果你是电影院的老板，如果随意给他们编座位，可能马上就收到差评。但是也不可能罗列所有的情况让他们自己去挑。因为50个座位给5个人去挑就已经有差不多几百万种情况。因此可能的方案，是随机挑其中的几种给他们去选。但随机取出来的东西，又不能重复，否则程序就会出现死循环。因此最好的方案，就是把每种情况变成一个数值，通过数值的变化，来实现方案的永不重复。（当然现实生活中，最好的方案，就是由客人自己去挑自己心仪的座位，而不是编好位让他们去选。）

总括而言，遍历算法的意义，在于对一些涉及到排列组合的问题上，能快速寻找到下一个组合情况，并能通过存储组合的数字值来代替存储组合本身，节省计算机资源。