1.周期函数的傅里叶级数

函数f(t)f(t)f(t)周期为T1T_1T1，角频率ω1=2πT1\omega_{1}=\frac{2 \pi}{T_{1}}ω1=T12π ,函数的傅里叶级数如下：

f(t)=∑n=−∞∞Fnejnω1t(1.1)f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} F_{n} e^{j n \omega_{1} t}\tag{1.1}f(t)=n=−∞∑∞Fnejnω1t(1.1)

Fn=1T1∫−T12T1f(t)e−jnω1tdt(1.2)F_{n}=\frac{1}{T_{1}} \int_{-\frac{T_{1}}{2}}^{T_{1}} f(t) e^{-j n\omega_{1} t} d t\tag{1.2}Fn=T11∫−2T1T1f(t)e−jnω1tdt(1.2)

2.非周期函数的傅里叶变换

把f(t)f(t)f(t)的周期T1→∞T_{1} \rightarrow \inftyT1→∞，得到非周期函数的傅里叶变换如下：

f(t)=12π∫−∞∞F(ω)ejωtdω(2.1)f(t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{j \omega t} d \omega \tag{2.1}f(t)=2π1∫−∞∞F(ω)ejωtdω(2.1)

F(ω)=∫−∞∞f(t)e−jωtdt(2.2)F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j \omega t} d t \tag{2.2}F(ω)=∫−∞∞f(t)e−jωtdt(2.2)

3.周期函数的傅里叶变换和傅里叶级数的关系

F(ω)=2π∑n=−∞∞Fnδ(ω−nω1)(3.1)F(\omega)=2 \pi \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_{n} \delta\left(\omega-n \omega_{1}\right) \tag{3.1}F(ω)=2πn=−∞∑∞Fnδ(ω−nω1)(3.1)

4.时域卷积定理

给定两个函数f1(t)f_1(t)f1(t)和f2(t)f_2(t)f2(t) ，傅里叶变换如下：

F[f1(t)]=F1(ω)(4.1)\mathscr{F}\left[f_{1}(t)\right]=F_{1}(\omega) \tag{4.1}F[f1(t)]=F1(ω)(4.1)

F[f2(t)]=F2(ω)(4.2)\mathscr{F}\left[f_{2}(t)\right]=F_{2}(\omega) \tag{4.2}F[f2(t)]=F2(ω)(4.2)

则：

F[f1(t)∗f2(t)]=F1(ω)F2(ω)(4.3)\mathscr{F}\left[f_{1}(t) * f_{2}(t)\right]=F_{1}(\omega) F_{2}(\omega) \tag{4.3}F[f1(t)∗f2(t)]=F1(ω)F2(ω)(4.3)

证明过程如下：

根据卷积定义，已知

f1(t)∗f2(t)=∫−∞∞f1(τ)⋅f2(t−τ)dτ(4.4)f_{1}(t) * f_{2}(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f_{1}(\tau) \cdot f_{2}(t-\tau) d \tau \tag{4.4}f1(t)∗f2(t)=∫−∞∞f1(τ)⋅f2(t−τ)dτ(4.4)

那么：

F[f1(t)∗f2(t)]=∫−∞∞[∫−∞∞f1(τ)f2(t−τ)dτ]e−jωtdt=∫−∞∞f1(τ)[∫−∞∞f2(t−τ)e−jωtdt]dτ=∫−∞∞f1(τ)[∫−∞∞f2(t−τ)e−jω(t−τ)e−jωτdt]dτ=∫−∞∞f1(τ)F2(ω)e−jω(t−τ)dt]e−jωτdτ=∫−∞∞f1(τ)F2(ω)e−jωτdτ=F1(ω)⋅F2(ω)(4.5)\begin{aligned} \mathscr{F}\left[f_{1}(t)^{*} f_{2}(t)\right] &=\int_{-\infty}^{\infty}\left[\int_{-\infty}^{\infty} f_{1}(\tau) f_{2}(t-\tau) d \tau\right] e^{-j \omega t} d t \\ &=\int_{-\infty}^{\infty} f_{1}(\tau)\left[\int_{-\infty}^{\infty} f_{2}(t-\tau) \mathrm{e}^{-j \omega t} \mathrm{d} t\right] \mathrm{d} \tau \\ &=\int_{-\infty}^{\infty} f_{1}(\tau)\left[\int_{-\infty}^{\infty} f_{2}(t-\tau) \mathrm{e}^{-j \omega(t-\tau)} \mathrm{e}^{-j \omega \tau} \mathrm{d} t\right] \mathrm{d} \tau \\ &\left.=\int_{-\infty}^{\infty} f_{1}(\tau) F_{2}(\omega) e^{-j \omega(t-\tau)} \mathrm{d} \mathrm{t}\right] \mathrm{e}^{-j \omega \tau} \mathrm{d} \tau \\ &=\int_{-\infty}^{\infty} f_{1}(\tau) F_{2}(\omega) e^{-j \omega \tau} d \tau \\ &=F_{1}(\omega) \cdot F_{2}(\omega) \end{aligned} \tag{4.5}F[f1(t)∗f2(t)]=∫−∞∞[∫−∞∞f1(τ)f2(t−τ)dτ]e−jωtdt=∫−∞∞f1(τ)[∫−∞∞f2(t−τ)e−jωtdt]dτ=∫−∞∞f1(τ)[∫−∞∞f2(t−τ)e−jω(t−τ)e−jωτdt]dτ=∫−∞∞f1(τ)F2(ω)e−jω(t−τ)dt]e−jωτdτ=∫−∞∞f1(τ)F2(ω)e−jωτdτ=F1(ω)⋅F2(ω)(4.5)

证毕。

5.频域卷积定理

给定两个函数f1(t)f_1(t)f1(t)和f2(t)f_2(t)f2(t) ，傅里叶变换如下：

F[f1(t)]=F1(ω)(5.1)\mathscr{F}\left[f_{1}(t)\right]=F_{1}(\omega) \tag{5.1}F[f1(t)]=F1(ω)(5.1)

F[f2(t)]=F2(ω)(5.2)\mathscr{F}\left[f_{2}(t)\right]=F_{2}(\omega) \tag{5.2}F[f2(t)]=F2(ω)(5.2)

则：

F[f1(t)⋅f2(t)]=12πF1(ω)∗F2(ω)(5.3)\mathscr{F}\left[f_{1}(t) \cdot f_{2}(t)\right]=\frac{1}{2 \pi} F_{1}(\omega) * F_{2}(\omega) \tag{5.3}F[f1(t)⋅f2(t)]=2π1F1(ω)∗F2(ω)(5.3)

证明过程如下：

根据卷积定义，已知

F1(ω)∗F2(ω)=∫−∞∞F1(μ)⋅F2(ω−μ)dμ(5.4)F_{1}(\omega) * F_{2}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} F_{1}(\mu) \cdot F_{2}(\omega-\mu) d \mu \tag{5.4}F1(ω)∗F2(ω)=∫−∞∞F1(μ)⋅F2(ω−μ)dμ(5.4)

那么

F−1[12πF1(ω)∗F2(ω)]=12π∫−∞∞12π[∫−∞∞F1(μ)⋅F2(ω−μ)dμ]ejωtdω=12π∫−∞∞F1(μ)[12π∫−∞∞F2(ω−μ)ejωtdω]dμ=12π∫−∞∞F1(μ)[12π∫−∞∞F2(ω−μ)ej(ω−μ)tdω)ejμtdμ=12π∫−∞∞F1(μ)f2(t)ejμtdμ=f2(t)⋅12π∫−∞∞F1(μ)ejμtdμ=f1(t)⋅f2(t)(5.5)\begin{aligned} \mathcal{F}^{-1}\left[\frac{1}{2 \pi} F_{1}(\omega) * F_{2}(\omega)\right] &=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2 \pi}\left[\int_{-\infty}^{\infty} F_{1}(\mu) \cdot F_{2}(\omega-\mu) d \mu\right] e^{j \omega t} d \omega \\ &=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F_{1}(\mu)\left[\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F_{2}(\omega-\mu) e^{j \omega t} d \omega\right] d \mu \\ &=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F_{1}(\mu)\left[\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F_{2}(\omega-\mu) e^{j(\omega-\mu) t} d \omega\right) e^{j \mu t} d \mu \\ &=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F_{1}(\mu) f_{2}(t) e^{j \mu t} d \mu \\ &=f_{2}(t) \cdot \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F_{1}(\mu) e^{j \mu t} d \mu \\ &=f_{1}(t) \cdot f_{2}(t) \end{aligned} \tag{5.5}F−1[2π1F1(ω)∗F2(ω)]=2π1∫−∞∞2π1[∫−∞∞F1(μ)⋅F2(ω−μ)dμ]ejωtdω=2π1∫−∞∞F1(μ)[2π1∫−∞∞F2(ω−μ)ejωtdω]dμ=2π1∫−∞∞F1(μ)[2π1∫−∞∞F2(ω−μ)ej(ω−μ)tdω)ejμtdμ=2π1∫−∞∞F1(μ)f2(t)ejμtdμ=f2(t)⋅2π1∫−∞∞F1(μ)ejμtdμ=f1(t)⋅f2(t)(5.5)

证毕。

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