卷积与卷积定理，数字信号卷积

连续信号的卷积与卷积定理

卷积

卷积由反褶、平移、相乘、积分几个部分组成
对于连续实值函数f1(t)f_1(t)f1(t)和f2(t)f_2(t)f2(t)在（−∞,+∞-\infty,+\infty−∞,+∞）内有定义，积分

∫−∞+∞f1(τ)f2(t−τ)dτ\int_{-\infty}^{+\infty}f_1(τ)\, f_2(t-τ)dτ∫−∞+∞f1(τ)f2(t−τ)dτ为f1(t)f_1(t)f1(t)与f2(t)f_2(t)f2(t)的卷积

记作 f1(t)∗f2(t)=∫−∞+∞f1(τ)f2(t−τ)dτ\bm{f_1(t)*f_2(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_1(τ)\, f_2(t-τ)dτ}f1(t)∗f2(t)=∫−∞+∞f1(τ)f2(t−τ)dτ

卷积满足交换律、结合律、分配率，实质就是在计算积分。

例题：
f(t)=t2u(t)f(t)=t^2u(t)f(t)=t2u(t)， g(t)={1,∣t∣≤1,0,∣t∣>1.g(t)=\left\{\begin{aligned} 1,\qquad & |t|\leq1,\\0,\qquad&|t|>1. &\end{aligned}\right.g(t)={1,0,∣t∣≤1,∣t∣>1.
求卷积：

当t<−1时t<-1时t<−1时，g(t)=0,f(t)∗g(t)=0g(t)=0,f(t)*g(t)=0g(t)=0,f(t)∗g(t)=0

当−1<t<1时-1<t<1时−1<t<1时，f(t)∗g(t)=∫−1t1∗(t−τ)2dτ=13(t+1)3f(t)*g(t)=\int_{-1}^{t}1*(t-τ)^2dτ=\frac{1}{3}(t+1)^3f(t)∗g(t)=∫−1t1∗(t−τ)2dτ=31(t+1)3

函数图像：

虽然g(t)=0g(t)=0g(t)=0，但积分值中依然包括
f(t)∗g(t)=∫−111∗(t−τ)2dτ=13(6t2+2)f(t)*g(t)=\int_{-1}^{1}1*(t-τ)^2dτ=\frac{1}{3}(6t^2+2)f(t)∗g(t)=∫−111∗(t−τ)2dτ=31(6t2+2)的部分。

故f(t)∗g(t)={0,t<−113(t+1)3,−1<t<113(6t2+2),t>1f(t)*g(t)=\left\{\begin{aligned}0,\,\,\,\quad\quad\qquad&t<-1\\ \frac{1}{3}(t+1)^3,\quad&-1<t<1\\\frac{1}{3}(6t^2+2),&\quad t>1\end{aligned}\right.f(t)∗g(t)=⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧0,31(t+1)3,31(6t2+2),t<−1−1<t<1t>1

卷积定理

由卷积与傅里叶变换得：

时域傅里叶卷积定理：

F[f1(t)∗f2(t)]=∫−∞+∞f1(t)∗f2(t)e−jwtdt=F1(w)⋅F2(w)\mathscr{F}[f_1(t)*f_2(t)]=\int_{-\infty}^{+\infty}f_1(t)*f_2(t)\,e^{-jwt}dt=F_1(w)·F_2(w)F[f1(t)∗f2(t)]=∫−∞+∞f1(t)∗f2(t)e−jwtdt=F1(w)⋅F2(w)

频域傅里叶卷积定理：

F[f1(t)⋅f2(t)]=12πF[f1(t)]∗F[f2(t)]=12πF1(w)∗F2(w)\mathscr{F}[f_1(t)·f_2(t)] = \frac{1}{2\pi}\mathscr{F}[f_1(t)]*\mathscr{F}[f_2(t)]=\frac{1}{2\pi}F_1(w)*F_2(w)F[f1(t)⋅f2(t)]=2π1F[f1(t)]∗F[f2(t)]=2π1F1(w)∗F2(w)

时域卷积对应频域乘积

由卷积与拉普拉斯变换得：

L[f1(t)∗f2(t)]=∫0+∞f1(t)∗f2(t)e−stdt=F1(s)⋅F2(s)\mathscr{L}[f_1(t)*f_2(t)]=\int_{0}^{+\infty}f_1(t)*f_2(t)\,e^{-st}dt=F_1(s)·F_2(s)L[f1(t)∗f2(t)]=∫0+∞f1(t)∗f2(t)e−stdt=F1(s)⋅F2(s)

L[f1(t)⋅f2(t)]=12πj∫0+∞f1(t)⋅f2(t)e−stdt=12πjF1(s)∗F2(s)\mathscr{L}[f_1(t)·f_2(t)]=\frac{1}{2\pi j}\int_{0}^{+\infty}f_1(t)·f_2(t)\,e^{-st}dt=\frac{1}{2\pi j}F_1(s)*F_2(s)L[f1(t)⋅f2(t)]=2πj1∫0+∞f1(t)⋅f2(t)e−stdt=2πj1F1(s)∗F2(s)

化简下来实际是在求二重积分

想更直观地了解拉氏变换可参考这篇：拉普拉斯变换【直观解释】—复变函数与积分变换学习笔记

离散的数字信号卷积

同样的，对于离散的数字信号进行卷积，也需要进行反褶、平移滑动、相乘、累加的几个步骤。
以一维向量卷积为例：
加入有一维行向量u=[1234]，q=[102030]u = [1\ 2\ 3\ 4]，q = [10\ 20\ 30]u=[1 2 3 4]，q=[10 20 30]
对其进行卷积运算u∗q或q∗u\bm{u*q或q*u}u∗q或q∗u（任取一个作为卷积核）
进行如下过程的卷积运算：
先将卷积核反转，在逐个进行相乘后平移滑动，再相乘，再继续滑动，累加计算结果

u∗q或q∗u\bm{u*q或q*u}u∗q或q∗u 的结果便为

[10（10x1)， 40 （20x1+10x2），100（30x1+20x2+10x3），160（30x2+20x3+10x4），170（30x3+20x4），120（30x4）]

在MATLAB中的命令为
c=conv(q,u)或c=conv(u,q)c = conv(q,u)或c = conv(u,q)c=conv(q,u)或c=conv(u,q)
也可通过deconv进行去卷积：

信号有很多种类，有连续的，离散的，一维的，多维的；图像就一种典型的二维信号，可以分割成很多的像素点，并可以有RGB（Red,Green,Blue）三原色通道。

在最开始的定义式 h(x,y)=f1(x,y)∗f2(x,y)=∫−∞+∞f1(x,y)f2(x−τ,y−τ)dτ\bm {h(x,y)=f_1(x,y)*f_2(x,y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_1(x,y)\, f_2(x-τ,y-τ)dτ}h(x,y)=f1(x,y)∗f2(x,y)=∫−∞+∞f1(x,y)f2(x−τ,y−τ)dτ 中

如果 f1(x,y)f_1(x,y)f1(x,y)和h(x,y)h(x,y)h(x,y)表示图像，则卷积就变成了对像素点的加权计算，冲激响应 f2(x,y)f_2(x,y)f2(x,y)就可以看成是一个卷积模板(或称作卷积核)。对图像中每一个像素点[x,y]输出响应值h(x,y)h(x,y)h(x,y)是通过平移卷积模板到像素点[x,y] 处,计算模板与像素点[x,y]邻域加权得到的，其中各加权值就是卷积模板中的对应值。
在图像处理中的卷积都是针对某像素的邻域进行的，它实现了一种邻域运算，即某个像素点的结果不仅仅与本像素点灰度有关，而且与其邻域点的值有关。其实质就是对图像邻域像素的加权求和得到输出像素值，其中的权矩阵称为卷积核(所有卷积核的行、列数都是奇数 )，也就是图像滤波器。

图中中间那个3*3矩阵就是卷积核（或叫做计算模板），即式中的f2(x,y)f_2(x,y)f2(x,y)，通过与input中的原始二维数组进行计算，计算过程如动图所示

就得到了卷积的结果。
对于图像，选取不同的卷积核，会有不同的滤波效果，比如高通低通滤波，对应出来的效果就是锐化和平滑。

在信号与系统中

一个周期信号可以由一个非周期信号和冲激序列进行卷积；
实际上，任意信号都可表示为冲激序列之和。

如上图所示，卷积核就是一个非周期的门函数，和单位冲激序列进行卷积得到的就是矩形周期信号

时域上卷积对应 频域（或复频域）上乘积
时域上乘积对应 12π(或12πj)\bm{\frac{1}{2\pi}(或\frac{1}{2\pi j})}2π1(或2πj1)倍的频域（或复频域）上卷积