随机规划

研究约束条件中的系数和目标函数中的参数均为随机变量时的线性规划问题。用于研究具有不确定性的决策问题。随机规划的中心问题是选择参数，使收益的数学期望达到最大。

报童问题

经典的运筹问题
假设某种产品的订购数量 xxx，产品需求 ddd。订购成本为 ccc 。如果需求 ddd 大于 xxx，则脱销单位损失 c1c_1c1。如果需求 ddd 小于 xxx ，则滞销单位损失为 c2c_2c2。
总成本为
F(x,d)=cx+c1[d−x]++c2[x−d]+F(x,d)=cx+c_1[d-x]_++c_2[x-d]_+F(x,d)=cx+c1[d−x]++c2[x−d]+
如果将部分参数转换为不确定的，将需求视为随机变量 DDD ，则转化为一个随机规划问题
min{f(x,D):=E[F(x,D)]}min\lbrace f(x,D):= \mathbb{E}[F(x,D)] \rbracemin{f(x,D):=E[F(x,D)]}
其中，E[⋅]\mathbb{E}[\cdot]E[⋅] 为所有随机变量的期望。
但是，这些参数又不是完全没有已知信息。假设一些概率分布信息是已知的。
假设随机变量 DDD 的概率密度函数为 H(x):=Pr(D≤x)H(x):=Pr(D≤x)H(x):=Pr(D≤x)，则
E[F(x,D)]=cE(D)+c1x+c2∫0xH(t)dt\begin{aligned} \mathbb{E}[F(x,D)]=c\mathbb{E}(D)+c_1x+ c_2\int_0^x H(t)dt \end{aligned} E[F(x,D)]=cE(D)+c1x+c2∫0xH(t)dt
推导：

求解方法

1.基于场景的建模方法(Scenario-based)：根据假设的分布信息，生成若干个具有代表性的场景(Scenarios)，每一个场景就对应一组参数，一个模型，并且这个场景有其对应的概率，使用不同的情景代替随机变量，问题转化为线性问题。对于较大规模的问题，情景树将会特别巨大从而难以求解，需要一定的情景树生成技巧从而减少问题规模。

假设有n个场景，需求分别为 d1,d2,...,dnd_1,d_2,...,d_nd1,d2,...,dn，对应的概率为 p1,p2,...,pnp_1,p_2,...,p_np1,p2,...,pn，则期望可以表示为：
E[F(x,D)]=∑i=1npiF(xi,di)\mathbb{E}[F(x,D)]=\sum_{i=1}^np_iF(x_i,d_i)E[F(x,D)]=i=1∑npiF(xi,di)

2.机会约束规划
利用机会约束，将随机问题转化为线性问题。
通俗来讲，机会约束规划是指允许决策不满足约束条件，但是决策满足约束条件的概率不低于事先设定的置信水平的规划求解模型时，目标达到最优的理论。给定置信水平，其一般化的模型描述如下：
minf(x)s.t.P{h(x,ε)}≤α\begin{aligned} min f(x) s.t. P\{h(x,\varepsilon)\}≤α \end{aligned} minf(x)s.t.P{h(x,ε)}≤α

3.鲁棒优化

4.抽样平均近似方法 SAA,Sample Average Approximation

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