C++算法(高精度算法)
高精度运算
- 高精度的存储和输入输出
- 单精度与高精度
- 存储
- 输入
- 输出
- 高精度运算
- 高精度加法
- 高精度加法 --代码实现
- 高精度减法
- 使用小端序的好处
- 高精度减法 - 代码实现
- 高精度乘法
- 高精度乘法——代码实现
C++自己本身有一些内置的整数类型，比如short、int、long long等。但它们的最大值都有一个限制，即便是unsigned long long能存储的最大数也只有2^{64} - 1264−1。
- 在使用整数的过程中，并不是只需要把它每一位存下来就好了，还需要：
- 读入用户的输入，
- 还要进行整数之间加减乘除的运算，
- 还要将计算结果输出给用户看。
只有当这些基本操作都实现了，才算真真正正实现了一个完整的大整数操作，所有相关大整数的操作本质就是模拟。
高精度的存储和输入输出
单精度与高精度
- 单精度：能用一个内置类型存储的整数。
- 高精度：不能用内置类型存储的大整数，通常用数组存储每一个数位。
存储
当把大整数存储在数组里时，有两种存储方式可供选择：
- 大端序：数字的高位在地址的低位（也就是和打印顺序一致）。以2021为例：
- 小端序：数字的低位在地址的低位。
通常进行高精度计算时，采取小端序方式，主要的目的是为了方便模拟竖式计算。
输入
数字很长以至于无法用C++内置类型读入的话，我们唯一的选择：
- 由字符数组表示的字符串
怎样将字符串转化成高精度整数类型？
考虑到我们的数字存储方向和打印顺序的不同，我们需要将字符串里的元素“倒着”存进数组。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
char str[111];
int digits[110];
int len;
int main() {cin >> str;// 获取高精度整数长度int len = strlen(str); for (int i = 0; i < len; ++i)// 将字符转换成数字，倒着存进数位数组digits[i] = str[len - i - 1] - '0'; }
输出
上文提到，我们输入没有选择和“打印顺序”一致的数据存储方法，而是相反。
所以，如果我们想按照“打印顺序”输出的话，就需要将数组倒过来，也就是从后往前输出。
因此，这也是为什么我们需要存储数字长度。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int digits[10] = {1, 2, 0, 2}; // 2021
int len = 4;
int main() {for (int i = len - 1; i >= 0; --i) cout << digits[i];cout << endl;
}
高精度运算
高精度加法
为了实现高精度的四则运算，我们需要模拟竖式操作。
在模拟的过程中，不但要维护数位数组上面的信息，还要更新数位数组的长度。
所以，以高精度加减法为例，我们分别从数位操作和维护长度两个方面来介绍。
- 数位操作
加法竖式计算的法则：
从低位开始，逐位相加;
若该位相加结果超过10，需向下一位进位
上面的例子中，可以发现:
在计算数位数组的第i位时，需要将三个部分加在一起:
第一个加数的第
i位，第二个加数的第i位，和第i-1位的进位。
- 维护长度
从上例中可以发现，如果最高位出现进位，还需要将答案数位长度+1。
高精度加法 --代码实现
代码实现主要分为三部分：数位操作、维护长度和输出。
#include <bits/stdc++.h>
#define N 110
using namespace std;
// 这里我们采用直接赋值的形式初始化，按照小端序的方式存储
// 所以这里加数a = 368， 加数b = 997，
int a_digits[N] = {8, 6, 3}, a_len = 3;
int b_digits[N] = {7, 9, 9}, b_len = 3;
int ans_digits[N], ans_len;
int main() {// 1. 数位操作: // 先将答案的长度赋值成和更大的加数一样的长度。// 然后再从低位向高位开始，逐位相加，回顾上文，每一位相加的部分包括两个加数的对应位和低位进位。// 相加时，大于等于10的部分要从这一位去掉然后进位到高位，分别对应%10和/10的操作ans_len = max(a_len, b_len); // 初始长度int k = 0; // 记录进位的变量for (int i = 0; i < ans_len; ++i) {// 假设a_len > b_len，这里需要保证b[b_len]到b[a_len - 1]的位置都是0，否则可能会出错。ans_digits[i] = a_digits[i] + b_digits[i] + k; // 相加计算k = ans_digits[i] / 10; // 更新进位ans_digits[i] %= 10;}// 2. 维护长度: // 因为两个数相加，最高位仍然可能产生进位，// 在这种情况下，需要我们将答案的长度+1if (k) ans_digits[ans_len++] = k; // 最高位进位// 3. 输出// 按照打印顺序输出，从高位到低位。for (int i = ans_len - 1; i >= 0; --i) cout << ans_digits[i];cout << endl;return 0;
}
高精度减法
- 数位操作
根据减法竖式计算的规则：
从低位开始，逐位相减；
若该位不够减，需向下一位借位，并且借一当十;
上面的例子中，可以是：
i位的结果等于被减数第i位减去减数第i位和低位的借位。
- 维护长度
在两个数相减时，若令初始长度为被减数的长度。最终计算的差的长度，和被减数相比，很可能变小。我们看以下几个特殊情况：
可以看到，
- 因为最终差的长度可能减小很多，所以需要用循环来更新长度。
具体判断应该是，如果差的最高位是0，那么差的长度应该减小。
- 由被减数和减数相同这个例子可以看出，差的位数必须大于等于1。
如果最终差的位数为1，即便是最高位等于0，那也不应该缩减长度。
使用小端序的好处
小端序的存储方式：数字的低位在地址的低位。
由此，我们可以看到使用小端序的理由：
- 因为加法、减法以及后面介绍的乘法等，都是从低位算到高位。这样存储符合我们平时习惯的枚举顺序。
- 因为数位计算结束后，需要更新数位数组的长度。把高位放在数组后面比较方便数组伸缩。
高精度减法 - 代码实现
总假设被减数大于等于减数。
代码依旧分成数位操作、维护长度和输出三个部分。
#include <bits/stdc++.h>
#define N 110
using namespace std;
// 同样，采用小端序存储
int a_digits[N] = {8, 6, 3, 2}, a_len = 4;
int b_digits[N] = {7, 9, 9}, b_len = 3;int ans_digits[N], ans_len;
int main() {// 1. 数位操作// 依旧是从低位到高位开始逐位相减// 因为总假设a>=b，所以初始长度先设为a的长度// 考虑每一位，需要计算的部分是被减数的当前位，减去减数的当前位，再减去低位的借位// 如果上一步的计算得出当前位<0，那我们需要向高位借位，然后给当前位+10ans_len = a_len; // 初始长度int k = 0; // 维护借位for (int i = 0; i < ans_len; ++i) {ans_digits[i] = a_digits[i] - b_digits[i] - k;if (ans_digits[i] < 0) {k = 1;ans_digits[i] += 10;} else k = 0; // 这里赋值成0很关键，而且容易遗漏}// 2. 维护长度// 想象一下，如果实际数字是1，但是长度记录是4的话，那么输出该数字结果将是0001，// 也就是出现了“前导0”，所以维护长度的目的是为了去掉前导0// 所以，我们用while循环实现这样的逻辑：只要最高位是0，我们就把位数缩小1位。// 但是需要注意，只有位数>1的时候才可以缩小，否则当保存的数字是0时，长度也会减为0.while (ans_len > 1 && !ans_digits[ans_len - 1]) // 只有长度大于1才可以去掉前导零--ans_len;// 3. 输出for (int i = ans_len - 1; i >= 0; --i) cout << ans_digits[i];cout << endl;return 0;
}
高精度乘法
- 数位操作
高精度乘高精度会比之前复杂很多。其原因在于：
- 高精度加减法只需要第
i位和第i位相加，答案仍然贡献给第i位；且第i可能产生对i + 1位的进位； - 在高精度乘法中，第一个乘数的第
i位，会和第二个乘数的每一位相作用。
所以，请思考下面的问题
第一个乘数的第
i位和第二个乘数的第j位相乘的结果，会贡献给答案的第几位呢？（考虑从右向左0-based下标，比如，23中3是第0位）
通过观察上述竖式会发现，答案会贡献给i + j位。
当答案中的所有数位计算完毕以后：
- 遍历每一个位置
k，然后把>=10的部分进位到k + 1位。
- 维护长度
- 令初始长度为两个乘数长度之和。
Tips:一个
n位的整数和一个m位的整数相乘，结果最多为n + m位的整数，我们可以从99 x 999 = 98901得到验证
考虑到一个
n位的整数和一个m位的整数相乘，结果最少为1位，比如1000 x 0 = 0所以和减法一样，我们维护数组长度需要用
while循环去掉前导零，并且只在数组长度大于1时进行。
高精度乘法 - 代码实现
高精度乘法——代码实现
代码分为数位操作、统一进位、维护长度和输出四个部分。
#include <bits/stdc++.h>
#define N 110
using namespace std;
int a_digits[N] = {3, 2}, a_len = 2;
int b_digits[N] = {8, 6}, b_len = 2;
// int a_digits[N] = {0}, a_len = 1;
// int b_digits[N] = {9, 9}, b_len = 2;
int ans_digits[N * 2], ans_len;
int main() {// 1. 数位操作// 考虑到(a位数×b位数)最多得到(a + b)位数，所以我们设置答案初始长度为a + b。// 另外考虑到第i位×第j位会贡献到(i + j)位，所以，我们用累加的方式计算答案的每一位。// 值得注意的是，这里累加的结果可能>=10，所以按理说应该进位，但为了效率考虑，我们// 在后面统一维护进位，而不是一边加一边进。ans_len = a_len + b_len; // 初始化长度for (int i = 0; i < ans_len; ++i) ans_digits[i] = 0; // 因为是不断累加的形式，所以要将范围内的元素初始化为0。for (int i = 0; i < a_len; ++i) for (int j = 0; j < b_len; ++j) ans_digits[i + j] += a_digits[i] * b_digits[j]; // ans的每一位更新都要使用累加的形式，这是因为对于ans的第k位，满足i + j == k的(i, j)很多，所以可能答案的第k位可能先后被更新很多次。// 2. 统一进位// 上一步提到，因为累加后得到的答案各个数位有可能>=10，所以要将其变成一个合法的高精度形式// 也就是说，要把>=10的部分进位到下一位。所以我们用类似于高精度加法的方法维护。// 每一位只需要将自己的值和低位的进位相加，然后把>=10的部分作为新的进位进到下一位。int k = 0;for (int i = 0; i < ans_len; ++i) {ans_digits[i] += k;k = ans_digits[i] / 10;ans_digits[i] %= 10;}// 3. 维护长度// 上面提到，(a位数×b位数)最多得到(a + b)位数// 但考虑一个非零整数和0相乘的情况，答案的长度很可能降为1。所以我们需要向减法一样更新长度。// 只有当长度仍然>1的时候，才需要去掉前导0while (ans_len > 1 && ans_digits[ans_len - 1] == 0) --ans_len;// 4. 输出for (int i = ans_len - 1; i >= 0; --i) cout << ans_digits[i];cout << endl;return 0;
}
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