蓝桥杯 2019第十届蓝桥杯 B组J题灵能传输题解思路

1.分析题目条件

题中允许对高阶圣堂武士进行的变换操作是 a[ i - 1 ] += a[ i ]，a[ i + 1 ] += a[ i ]，a[ i ] = - a[ i ] ，i 属于 [2 , n-1]

需要通过若干次变换操作，得到最小的 max{ | a[ i ] | }

这个变换操作很复杂，不易求解。

2.前缀和形式

尝试转化为前缀和形式，a[ 1 ] ~ a[ n ] 求取前缀和，记为 s[ 1 ] ~ s[ n ]

此时的 a[ 1 ] ~ a[ n ] 变为 s[ 1 ]，s[ 2 ] - s[ 1 ]，s[ 3 ] - s[ 2 ] …… s[ n ] - s[ n - 1 ]

看看转化后的变换操作：

如对 i = 2 使用变换操作，那么 s[ 1 ] —> s[ 2 ]，s[ 2 ] —> s[ 1 ]，s[ 3 ] —> s[ 3 ]

发现对 i 进行变换操作，会导致 s[ i - 1 ] 和 s[ i ] 交换

如此，前缀和形式的变换操作是不是简单的多了！

3.完善前缀和数列

经上分析，我们可以在 s[ 1 ] ~ s[ n - 1 ] 之间的数进行任意交换，使 s[ 1 ]，s[ 2 ] - s[ 1 ]，s[ 3 ] - s[ 2 ]…，s[ n ] - s[ n - 1 ] 之间差的绝对值的最大值最小

等等！只有第一项是 s[ 1 ] 的形式，后面都是相减的形式，这是不是很难受

补上 s[ 0 ] = 0

这样，我们的题目就转化成为了

在 s[ 1 ] ~ s[ n - 1 ] 之间的数进行任意交换，使 s[ 1 ] - s[ 0 ]，s[ 2 ] - s[ 1 ]，s[ 3 ] - s[ 2 ]…，s[ n ] - s[ n - 1 ] 之间差的绝对值的最大值最小

4.求解

如果 s[ 0 ] ~ s[ n ] 之间都能随意交换，那差的绝对值的最大值最小显然是排序后，这时数列单调，两个数之差必然是最小哒。

但条件固定了 s[ 0 ] 和 s[ n ] 这两个点！

这意味着固定了起点和终点，要想得到差的最小值当然还是需要排序，但取数就不能是一个一个取了。

排序后起点和终点一般情况就不再是在两端，而是在中间。由于我们要的是差的绝对值，所以我们以 s[ 0 ] 做起点还是以 s[ n ] 做起点都是可以的！

我们设 min{ s[ 0 ]，s[ n ] } 做起点，max{ s[ 0 ]，s[ n ] }做终点；还需要注意的是特殊情况，即 s[ 0 ] == s[ n ] 时，我们须确保起点的下标要小于终点的下标，不然会发生取数产生重叠区。

如上图所示，取数以起点开始到最小值，再到最大值，最后到达终点。

还有一个问题，那就是上图中存在两段重叠区。重叠区取数也必须要保证向左时和向右时差的绝对值的最大值最小！

隔一个数取一个数显然是最好的解决办法了，向左取数时候就留下了间隔一个数的一组数，留下之后反方向向右取的数。

取数完成后遍历一遍找到差绝对值的最大值，输出。

结束！

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int N=3e5;
ll a[N],s[N];
bool vis[N];
int n;
int main(){int T;scanf("%d",&T);while(T--){memset(vis,0,sizeof(vis));scanf("%d",&n);s[0]=0;for(int i=1;i<=n;++i){scanf("%lld",&s[i]);s[i]+=s[i-1];}ll s0=0,sn=s[n];if(s0>sn) swap(s0,sn);//前小后大，为方便取数，可避免讨论取数时重复取的问题。 sort(s,s+n+1);int l=0,r=n;for(int i=lower_bound(s,s+n+1,s0)-s;i>=0;i-=2){//隔数取数a[l++]=s[i],vis[i]=1;}for(int i=lower_bound(s,s+n+1,sn)-s;i<=n;i+=2){a[r--]=s[i],vis[i]=1;}for(int i=0;i<=n;++i){if(!vis[i]) a[l++]=s[i];}ll res=0;for(int i=1;i<=n;++i)res=max(res,abs(a[i]-a[i-1]));printf("%lld\n",res);}return 0;
}

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