【C++进阶3-二叉搜索树】强，但没貌似还不够？
2024-05-14 06:15:34
今天，带来二叉搜索树的讲解。
文中不足错漏之处望请斧正！
是什么
二叉搜索树（Binary Search Tree）又称二叉排序树。
它可以是一棵空树，也可以是具有以下性质的二叉树:
- 若它的左子树不为空，则左子树上所有结点的值都小于根结点的值
- 若它的右子树不为空，则右子树上所有结点的值都大于根结点的值
- 它的左右子树也分别为二叉搜索树
实现
二叉搜索树有两种搜索模型——Key搜索模型和<Key, Value>搜索模型。
Key搜索模型
Key模型的BST每个结点内存一个Key值，即用Key作为关键码，Key本身就是搜索需要找到的值。
结构
template<class K>
struct BSTreeNode
{BSTreeNode(const K& key):_left(nullptr),_right(nullptr),_key(key){}BSTreeNode<K>* _left = nullptr;BSTreeNode<K>* _right = nullptr;K _key;
};template<class K>
class BSTree
{typedef BSTreeNode<K> Node;
public:Node* _root = nullptr;
};
Insert
思路：key小往左走，key大往右走。
参考代码
//依照key值找插入位置（BST元素不重复）bool Insert(const K& key){if(_root == nullptr){_root = new Node(key);return true;}Node* cur = _root, *parent = nullptr;while(cur){if(cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if(key < cur->_key){parent = cur;cur = cur->_left;}elsereturn false;}cur = new Node(key);if(parent->_key < key)parent->_right = cur;elseparent->_left = cur;return true;}
Erase
思路：
1. 要删的是根/没有孩子的结点
：直接删
2. 要删的有左孩子/右孩子
：将左/右孩子托付给自己的父。
3. 要删的有左右孩子
替换法删除：找一个合适的结点替换删除。
找谁？
左子树最大 / 右子树最小都可以。
- BST规则：左子树的全部结点都比右子树小，也可以说右子树的全部结点都比左子树的大。
- 左子树最大的上来作根：比左子树的都大，比右子树的都小（）
- 右子树最小的上来作根：比右子树的都小，比左子树的都大（BST规则：左子树的全部都比右子树小）
参考代码
bool Erase(const K& key) //删除 = 删除 + 链接{if(Empty()) return false;Node* cur = _root, *parent = nullptr;while(cur){if(cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if(key < cur->_key){parent = cur;cur = cur->_left;}else break;}if(cur == nullptr) return false;//走到这，cur即要删除的结点//要删的是根 / 要删的结点没有孩子都可以直接包含在这种条件内（复用代码）//2. 要删的结点有右孩子 ==> 将右子树托孤if(cur->_left == nullptr){if(cur == _root){_root = cur->_right;}else{if(cur == parent->_left)parent->_left = cur->_right;elseparent->_right = cur->_right;}delete cur;return true;}//2. 要删的结点有左孩子 ==> 将左子树托孤else if(cur->_right == nullptr){if(cur == _root){_root = cur->_left;}else{if(cur == parent->_left)parent->_left = cur->_left;elseparent->_right = cur->_left;}delete cur;return true;}//3. 要删的结点有左右孩子 ==> 替换法删除else{Node* minRight = cur->_right, *parent = cur;while(minRight->_left) //此分支内，minRight肯定不为空，可以直接解引用{parent = minRight;minRight = minRight->_left;}//覆盖掉要删的cur->_key = minRight->_key; if(minRight == parent->_left)parent->_left = minRight->_right;elseparent->_right = minRight->_right;//我已经去作老大了，这里得清理干净delete minRight;return true;}return false;}
InsertR
可以用递归实现一下，有个很妙的点。
我们插入和删除最大的难点就是链父，插入了，我的父是谁，删除了，我的父是谁？
在递归里，这样的场景我们可以用引用做参数——使得root是父亲的左/右孩子的引用。
bool _InsertR(Node*& root, const K& key){//最大的问题是链父，root作引用，是父结点的left/rightif(root == nullptr){root = new Node(key); //root是父结点的left/right的引用，这一步赋值相当于链父了return true;}if(root->_key < key)return _InsertR(root->_right, key);else if(key < root->_key)return _InsertR(root->_left, key);elsereturn false;}
EraseR
递归里我们不能用替换法直接覆盖删了，但是思路一样，还是需要替换，不过绕了个弯子。
我们可以替换，让左子树最大/右子树最小，也可以说是最左/最右结点作根，原本的根换下去。
有两个点：
- 最左结点/最右结点必然有一侧是空的，那就可以直接删除或托孤
- 替换后不符合BST规则：整体来说不符合，但是从局部来说还符合
局部符合有什么用？
局部符合我们就可以在局部删！
bool _EraseR(Node*& root, const K& key){if(root == nullptr) return false;if(root->_key < key)return _EraseR(root->_right, key);else if(key < root->_key)return _EraseR(root->_left, key);else{Node* del = root;if(root->_left == nullptr)root = root->_right; //托孤（右孩子）else if(root->_right == nullptr)root = root->_left; //托孤（右孩子）else{Node* minRight = root->_right;while(minRight->_left)minRight = minRight->_left;//交换法：直接找key删，没法删，找替换节点交换，交换后可以删替换节点//(因为是最左/最右结点，一定有一侧是空的，也就可以托孤)swap(root->_key, minRight->_key);//交换后，root为根的子树不符合BST，无法递归，会找不到key//但是，因为找来的替换节点是右子树的最左节点，替换后右子树保持BST//就可以转换成到root->_right为根的子树找，而交换后，我们可以用托孤的方式删除minRight/maxLeft_EraseR(root->_right, key);}delete del;return true;}}
子函数
我们把这些需要传递私有成员的函数都作为子函数，或是弄一层函数重载——外面调用时是无法访问私有成员，所以无法传参。
*其实可以写一个GetRoot这种函数给外面提供，但是暴露底层了，不好
子函数：
//外面可以直接调用void InOrder(){_InOrder(_root); }//封一层void _InOrder(Node* root){ ... }
函数重载：
//给外面调用void InOrder(){InOrder(_root); }//给内部调用void _InOrder(Node* root){ ... }
还有一些拷贝构造和析构什么的，完善一下就好了。
*整体代码在文末
<Key, Value>搜索模型
KV模型的BST每个结点内存一个pair键值对，即用pair中的Key作为关键码，Key对应的Value是需要找到的值。
关于键值对，它存放了一个键和相应值的对，键用于在树中进行查找，而值则相当于查找键所得到的结果。
C++中的pair类模板是一种将两个值组合成一个单元的数据结构。这对于需要将一对值作为一个单元处理的情况非常有用。pair模板具有两个模板参数，一个表示第一个值的类型，另一个表示第二个值的类型。例如，pair<int, string>是一个由int和string类型组成的单元。我们此处用它来将key和value组合成一个单元，实现KV搜索模型。
实现
实现上我们从简，只玩儿精华，看到它和K模型的区别即可。
//KV查找模型：key value
namespace KV
{template<class K, class V>
struct BSTreeNode
{BSTreeNode<K, V>* _left = nullptr;BSTreeNode<K, V>* _right = nullptr;K _key;V _val;BSTreeNode(const K& key, const V& val):_left(nullptr),_right(nullptr),_key(key),_val(val){}
};template<class K, class V>
class BSTree
{public:typedef BSTreeNode<K, V> Node;BSTree():_root(nullptr){}bool Insert(const K& key, const V& val){if(_root == nullptr){_root = new Node(key, val);return true;}Node* cur = _root, *parent = nullptr;while(cur){if(cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if(key < cur->_key){parent = cur;cur = cur->_left;}elsereturn false;}cur = new Node(key, val);if(parent->_key < key)parent->_right = cur;elseparent->_left = cur;return true;}void InOrder(){_InOrder(_root); //递归必须要传root：子函数内部传参，不想写GetRoot暴露rootcout << endl;}Node* Find(const K& key){Node* cur = _root;while(cur){if(cur->_key == key)return cur;else if(cur->_key < key)cur = cur->_right;elsecur = cur->_left;}return nullptr;}void _InOrder(Node* root){if(root == nullptr) return;_InOrder(root->_left);cout << "["<< root->_key<< ", "<< root->_val<< "]" << endl;_InOrder(root->_right);}
private:Node* _root = nullptr;
};
BST性能分析
最优情况
是或接近完全二叉树，据key搜索一次需要比较logN次，时间复杂度为O(N)。
还是很不错的哦！
最差情况
是或接近单支树，据key搜索一次需要比较N次，时间复杂度为O(N)。
但是会退化，感觉不够强……
K模型BST的整体参考代码
整体参考代码
//Key搜索模型
template<class K>
struct BSTreeNode
{BSTreeNode(const K& key):_left(nullptr),_right(nullptr),_key(key){}BSTreeNode<K>* _left = nullptr;BSTreeNode<K>* _right = nullptr;K _key;
};template<class K>
class BSTree
{typedef BSTreeNode<K> Node;
public:BSTree():_root(nullptr){}~BSTree(){Destroy(_root);}BSTree(const BSTree<K>& t){_root = Copy(t._root);}BSTree<K>& operator=(BSTree<K> t){swap(_root, t._root);return *this;}//依照key值找插入位置（BST元素不重复）bool Insert(const K& key){if(_root == nullptr){_root = new Node(key);return true;}Node* cur = _root, *parent = nullptr;while(cur){if(cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if(key < cur->_key){parent = cur;cur = cur->_left;}elsereturn false;}cur = new Node(key);if(parent->_key < key)parent->_right = cur;elseparent->_left = cur;return true;}void InOrder(){_InOrder(_root); //递归必须要传root：子函数内部传参，不想写GetRoot暴露rootcout << endl;}bool Find(const K& key){Node* cur = _root;while(cur){if(cur->_key == key)return true;else if(cur->_key < key)cur = cur->_right;elsecur = cur->_left;}return false;}bool Empty() { return _root == nullptr;}bool Erase(const K& key) //删除 = 删除 + 链接{if(Empty()) return false;Node* cur = _root, *parent = nullptr;while(cur){if(cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if(key < cur->_key){parent = cur;cur = cur->_left;}else break;}if(cur == nullptr) return false;if(cur->_left == nullptr){if(cur == _root){_root = cur->_right;}else{if(cur == parent->_left)parent->_left = cur->_right;elseparent->_right = cur->_right;}delete cur;return true;}else if(cur->_right == nullptr){if(cur == _root){_root = cur->_left;}else{if(cur == parent->_left)parent->_left = cur->_left;elseparent->_right = cur->_left;}delete cur;return true;}else{Node* minRight = cur->_right, *parent = cur;while(minRight->_left) //此分支内，minRight肯定不为空{parent = minRight;minRight = minRight->_left;}cur->_key = minRight->_key; //左子树最大 / 右子树最小都符合if(minRight == parent->_left)parent->_left = minRight->_right;elseparent->_right = minRight->_right;delete minRight;return true;}return false;}bool InsertR(const K& key){return _InsertR(_root, key);}bool EraseR(const K& key){return _EraseR(_root, key);}bool FindR(const K& key){return _FindR(_root, key);}private:void Destroy(Node* root){if(root == nullptr) return;Destroy(root->_left);Destroy(root->_right);delete root;}Node* Copy(Node* root){if(root == nullptr) return nullptr;Node* newRoot = new Node(root->_key);newRoot->_left = Copy(root->_left);newRoot->_right = Copy(root->_right);return newRoot;}void _InOrder(Node* root){if(root == nullptr) return;_InOrder(root->_left);cout << root->_key << " ";_InOrder(root->_right);}bool _InsertR(Node*& root, const K& key){//最大的问题是链父，root作引用，是父结点的left/rightif(root == nullptr){root = new Node(key); //root是父结点的left/right的引用，这一步赋值相当于链父了return true;}if(root->_key < key)return _InsertR(root->_right, key);else if(key < root->_key)return _InsertR(root->_left, key);elsereturn false;}bool _EraseR(Node*& root, const K& key){if(root == nullptr) return false;if(root->_key < key)return _EraseR(root->_right, key);else if(key < root->_key)return _EraseR(root->_left, key);else{Node* del = root;if(root->_left == nullptr)root = root->_right; //托孤（右孩子）else if(root->_right == nullptr)root = root->_left; //托孤（右孩子）else{Node* minRight = root->_right;while(minRight->_left)minRight = minRight->_left;//交换法：直接找key删，没法删，找替换节点交换，交换后可以删替换节点//(因为是最左/最右结点，一定有一侧是空的，也就可以托孤)swap(root->_key, minRight->_key);_EraseR(root->_right, key);}delete del;return true;}}bool _FindR(Node*& root, const K& key){if(root == nullptr) return false;if(root->_key < key)return _FindR(root->_right, key);else if(key < root->_key)return _FindR(root->_left, key);elsereturn true;}Node* _root = nullptr;
};
今天的分享就到这里了，感谢您能看到这里。
这里是培根的blog，期待与你共同进步！
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