例题9-27 方块消除 UVa10559

1.题目描述：点击打开链接

2.解题思路：本题属于区间dp型问题，不过在设置状态的时候不是特别容易。根据题意，方块的消除必须是一串相同颜色的才可以进行。因此，按照以往的经验，我们设dp(i,j)表示i...j之间的最大得分。那么，有2种方法：1.找到从j开始向左延伸到p,那么直接把p...j这一段消除。2.从i开始向右延伸到q,且a[q]==a[j], a[q+1]!=a[j]。这样，中间的q+1...p-1一定是可以被消除的，然后2段连接到一起。不过第二种方法仅仅用dp(i,j)还是不能准确的描述清楚。因此，一种解决办法就是增加一个维度，用dp(i,j,k)表示“原序列i...j的右边再增加k个颜色等于a[j]的方块所得的新序列”的最大得分。这样，2种决策都可以用如下的状态转移方程描述了：

dp(i,j,k)=dp(i,p-1,0)+(j-i+k+1)*(j-i+k+1)(p是从j开始向左延伸的最远的下标)

dp(i,j,k)=max{dp(q+1,p-1,0)+dp(i,q,j-p+k+1)}(p满足a[q]==a[j]&&a[q+1]!=a[j])

上述的2个方程分别对应之前所说的2种消除方法。不难发现，状态一共有O(n^3)个，决策有O(n)个，因此总的时间复杂度为O(N^4)。可以用记忆化搜索的方法来求解。由于q的取值范围一般都比较小，因此对于大部分数据，这个算法的运行效率都很高。

3.代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cassert>
#include<string>
#include<sstream>
#include<set>
#include<bitset>
#include<vector>
#include<stack>
#include<map>
#include<queue>
#include<deque>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<cctype>
#include<list>
#include<complex>
#include<functional>
using namespace std;#define me(s) memset(s,0,sizeof(s))
#define rep(i,n) for(int i=0;i<(n);i++)
#define pb push_back
typedef long long ll;
typedef pair <int,int> P;const int N=200+5;int a[N];
int d[N][N][N];
int n;int dp(int i,int j,int k)
{if(i>j)return 0;int&ans=d[i][j][k];if(ans>=0)return ans;int p=j;while(p>=i&&a[p]==a[j])p--;p++;ans=dp(i,p-1,0)+(j-p+k+1)*(j-p+k+1);//第一种消除方式for(int q=i;q<p;q++)  //第二种消除方式if(a[q]==a[j]&&a[q+1]!=a[j])ans=max(ans,dp(q+1,p-1,0)+dp(i,q,j-p+k+1));return ans;
}int main()
{int T;scanf("%d",&T);for(int kase=1;kase<=T;kase++){scanf("%d",&n);rep(i,n)scanf("%d",&a[i]);memset(d,-1,sizeof(d));printf("Case %d: %d\n",kase,dp(0,n-1,0));}
}

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