3.3 泰勒（Taylor）公式和麦克劳林（Maclaurin）公式

本篇内容为泰勒公式和麦克劳林公式，主要用于近似计算，还是先搞个引入吧。

引子

f(x)在x=x₀的邻域内n+1阶可导（包含x=x₀）。现在用一个n次多项式P_n(x)近似的表示f(x)
P_n(x)=a₀+a₁(x-x₀)+a₂(x-x₀)²+…+a_n(x-x₀)ⁿ
P_n(x)的项数越多次数越高则值越精确，与f(x)越接近，可以理解成P_n(x)每多一项就做一次修正。

那么P_n(x)应该满足什么样的条件呢？
P_n(x₀)=f(x₀) 既然近似，二者在x=x₀这一点的函数值应该相等，不然误差太大了
P_n’(x₀)=f’(x₀)
P_n’’(x₀)=f’’(x₀)
……
P_n⁽ⁿ⁾(x₀)=f⁽ⁿ⁾(x₀)
同理，P_n(x)和f(x)在x=x₀处的一阶导数和高阶导数应该相等，表示二者离散的速度非常慢，从图像上看，二者应该几乎重合。

下面开始处理这个多项式
代入x=x₀，P_n(x₀)=a₀=f(0)

通过求导确定系数

所以P_n(x)就应该是这个样子的
处理近似
很明显可以知道P_n(x)和f(x)之间是有误差的对吧,P_n(x)是个多项式，说的在明白一点，就算经过多次修正，用一个不是f(x)的东西去表示f(x)一定会存在误差的。这个误差成为余项,定义为R_n(x)

f(x)可以表示为多项式和余项（误差）之和即f(x)=P_n(x)+R_n(x)
R_n(x)则可以表示为R_n(x)=f(x)-P_n(x)

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