用R语言理解洛必达法则

文章目录

5 洛必达法则
- 极限的种类
- 洛必达法则作用于幂函数

5 洛必达法则

极限的种类

令NNN为常数，则常规的极限运算大致有以下几种

∞±N=∞∞⋇N=∞(N≠0)N∔∞=∞N−∞=−∞N/∞=0±N/0=±∞N∞=∞(N≠1)∞N=∞(N≠0)\begin{matrix} &\infty\pm N=\infty\quad&\infty\divideontimes N=\infty(N\not =0)& N\dotplus\infty=\infty\\ &N-\infty=-\infty& N/\infty=0& \pm N/0=\pm\infty\\ &N^\infty=\infty(N\not=1)\quad&\infty^N=\infty(N\not=0) \end{matrix} ∞±N=∞N−∞=−∞N∞=∞(N=1)∞⋇N=∞(N=0)N/∞=0∞N=∞(N=0)N∔∞=∞±N/0=±∞

常规之外，就要通过洛必达法则来处理

00,∞∞,0⋅∞,∞−∞,00,∞0,1∞\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, 0\cdot\infty,\infty-\infty,0^0,\infty^0,1^\infty 00,∞∞,0⋅∞,∞−∞,00,∞0,1∞

对于00,∞∞\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}00,∞∞而言，洛必达法则在形式上可以表示为

lim⁡x→af(x)g(x)=lim⁡x→af′(x)g′(x)\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} x→alimg(x)f(x)=x→alimg′(x)f′(x)

洛必达法则作用于幂函数

理解洛必达法则可从幂函数入手，假设f(x)=xnf(x)=x^nf(x)=xn，g(x)=xmg(x)=x^mg(x)=xm，则f(x)g(x)=xn−m\frac{f(x)}{g(x)}=x^{n-m}g(x)f(x)=xn−m。当x→0x\to0x→0时，若n−m>0n-m>0n−m>0，则极限为无穷大，否则极限为0。

所以，尽管二者都为0，但0和0也有不同。问题是这种不同是否明显？如果定义域在[−1,1][-1,1][−1,1]这个区间，的确看不出太多的区别

x = seq(-1,1,0.01)  #生成等差数列
plot(x,x^2,type='l')
lines(x,x^3)
lines(x,x^4)
lines(x,x^5)
lines(x,x^6)

然而随着我们缩小坐标的尺度，区别就变得明显起来

> x = seq(-0.1,0.1,0.001)
> plot(x,x^2,type='l')
> lines(x,x^3)

这意味着越是逼近0，不同阶数的幂函数将渐行渐远，回顾极限的定义，对于

lim⁡x→0x3x2=0\lim_{x\to0}\frac{x^3}{x^2}=0 x→0limx2x3=0

意味着对于任意小的ε\varepsilonε，均能找到一个XXX，当x∈[0,X]x\in[0,X]x∈[0,X]时，有x3x2<ε\frac{x^3}{x^2}<\varepsilonx2x3<ε，这是显然的。

而我们之所以觉得“显然”，是因为我们接受了大量的指数运算的训练，而指数之间的运算又基于一条更简单的规则xnx=xn−1\frac{x^n}{x}=x^{n-1}xxn=xn−1。或许其真正的运算过程为

x3x2=x3xx2x=x2x=x\frac{x^3}{x^2}=\frac{\frac{x^3}{x}}{\frac{x^2}{x}}=\frac{x^2}{x}=x x2x3=xx2xx3=xx2=x

受到这种运算形式的启发，对于一个相对复杂的表达式，或许可以对上式进行一点更改

lim⁡x→0f(x)g(x)=lim⁡x→0f(x)−0xg(x)−0x=0\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{g(x)}= \lim_{x\to0}\frac{\frac{f(x)-0}{x}}{\frac{g(x)-0}{x} }=0 x→0limg(x)f(x)=x→0limxg(x)−0xf(x)−0=0

这个时候我们就发现了一个很熟悉的表达式lim⁡x→0f(x)−0x\lim_{x\to0}\frac{f(x)-0}{x}limx→0xf(x)−0，正是

f′(0)=lim⁡x→0f(0+x)−f(0)xf'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(0+x)-f(0)}{x} f′(0)=x→0limxf(0+x)−f(0)

所以，对于f(0)=0f(0)=0f(0)=0和g(0)=0g(0)=0g(0)=0的情况，可以存在

lim⁡x→0f(x)g(x)=f′(0)g′(0)\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(0)}{g'(0)} x→0limg(x)f(x)=g′(0)f′(0)

若f′(0)f'(0)f′(0)和g′(0)g'(0)g′(0)仍然同时为0，则继续洛，一直洛到祖坟上去。回顾一开始引入的重要极限，洛必达法则很好地验证了其正确性。

lim⁡x→0sin⁡(x)x=lim⁡x→0sin⁡′xx′=cos⁡01=1\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin'x}{x'}=\frac{\cos0}{1}=1x→0limxsin(x)=x→0limx′sin′x=1cos0=1

可以画图验证一下二者在趋近于0时的特性

x = seq(-0.01,0.01,0.001)
plot(x,x,ylab="x/sin(x)")
lines(x,sin(x),col='red')

由于实在靠的太近，所以用差的对数来表示一下

x = seq(-0.1,0.1,0.001)
err = log(abs(x-sin(x)),10)
plot(x,err,type='l')

可见这个收敛速度是很快的，当x=0.001x=0.001x=0.001时，二者之间的差就已经达到了10−910^{-9}10−9。