DijkstraAlgorithm(迪杰斯特拉算法)

迪杰斯特拉(Dijkstra)算法介绍

迪杰斯特拉(Dijkstra)算法是典型最短路径算法，用于计算一个结点到其他结点的最短路径。它的主要特点是以起始点为中心向外层层扩展(广度优先搜索思想)，直到扩展到终点为止。

最短路径

最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径，大致可以分为如下几种问题，可无论如何分类问题，其本质思想还是不变的，即，求两点间的最短距离。

a) 确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题。

b) 确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。

c) 确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。

d) 全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径。

迪杰斯特拉(Dijkstra)算法概述

如上图，迪杰斯特拉算法的核心思路是：

指定一个节点，例如我们要计算 ‘A’ 到其他节点的最短路径
引入三个集合（dis，already_arr，pre_visited），dis集合包含已求出的最短路径的点（以及相应的最短长度），already_arr 记录各个顶点是否被访问过 (1 表示访问过,0 未访问)会动态更新， pre_visited 每个下标对应的值为前一个顶点下标, 会动态更新
初始化三个集合，already_arr集合初始时只有当前节点要设置为已访问（即already_arr[index] = 1）
dis集合初始时为 A->A = 0 A->B = 4, A->C = ∞, A->D = 2, A->E = ∞
从还没访问的节点中找出路径最短的点，加入dis集合，例如 A->D = 2
更新already_arr 和 pre_visited 集合路径，if ( ‘D 到 B,C,E 的距离’ + ‘AD 距离’ < ‘A 到 B,C,E 的距离’ ) 则更新already_arr 和 pre_visited 集合
循环执行 4、5 两步骤，直至遍历结束，得到A 到其他节点的最短路径

迪杰斯特拉算法应用场景-最短路径问题

战争时期，胜利乡有 7 个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ，现在有六个邮差，从 G 点出发，需要分别把邮件分别送到A, B, C , D, E, F 六个村庄
各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5 公里
问：如何计算出 G 村庄到其它各个村庄的最短距离?
如果从其它点出发到各个点的最短距离又是多少?

代码实现

public class DijkstraAlgorithm {// 表示不连通public static final int INF = 65535;public static void main(String[] args) {char[] vertexs = {'A','B','C','D','E','F','G'};int[][] matrix = new int[vertexs.length][vertexs.length];matrix[0]= new int[]{INF, 5, 7, INF, INF, INF, 2};matrix[1]= new int[]{5, INF, INF, 9, INF, INF, 3};matrix[2]= new int[]{7, INF, INF, INF, 8, INF, INF};matrix[3]= new int[]{INF, 9, INF, INF, INF, 4, INF};matrix[4]= new int[]{INF, INF, 8, INF, INF, 5, 4};matrix[5]= new int[]{INF, INF, INF, 4, 5, INF, 6};matrix[6]= new int[]{2, 3, INF, INF, 4, 6, INF};// 创建Graph对象Graph graph = new Graph(vertexs, matrix);graph.showGraph();//要开始寻找的顶点下标int index = 6;graph.dijkstra(index);graph.showDijkstra(index);}
}class Graph {private final char[] vertex; // 顶点数组private final int[][] matrix; // 邻接矩阵private VistedVertex vv; // 已访问顶点集合// 构造器public Graph(char[] vertex, int[][] matrix) {this.vertex = vertex;this.matrix = matrix;}// 显示结果public void showDijkstra(int index) {vv.print(index);}// 显示图public void showGraph() {for (int[] link : this.matrix) {System.out.println(Arrays.toString(link));}}// dijkstra 算法public void dijkstra(int index) {vv = new VistedVertex(vertex.length, index);// 更新 index 下标顶点到周围顶点的距离和周围顶点的前驱顶点update(index);for (int j = 1; j < vertex.length; j++) {// 选择并返回新的访问顶点index = vv.updateArr();// 更新 index 下标顶点到周围顶点的距离和周围顶点的前驱顶点update(index);}}// 更新 index 下标顶点到周围顶点的距离和周围顶点的前驱顶点public void update(int index) {int len;for (int i = 0; i < matrix[index].length; i++) {// len 含义是 : 出发顶点到 index 顶点的距离 + 从 index 顶点到 i 顶点的距离的和len = vv.getDis(index) + matrix[index][i];// 如果 i 顶点没有被访问过，并且 len 小于出发顶点到 i 顶点的距离，就需要更新if (!vv.in(i) && len < vv.getDis(i)) {vv.updatePre(i, index);//更新 i 顶点的前驱为 index 顶点vv.updateDis(i, len);//更新出发顶点到 i 顶点的距离}}}
}// 已访问顶点集合
class VistedVertex {// 记录各个顶点是否被访问过 (1 表示访问过,0 未访问)会动态更新public int[] already_arr;// 每个下标对应的值为前一个顶点下标, 会动态更新public int[] pre_visited;// 记录出发顶点到其他所有顶点的距离,比如 G 为出发顶点，就会记录 G 到其它顶点的距离// 会动态更新，求的最短距离就会存放到 dispublic int[] dis;/*** 构造器* @param length 顶点的个数* @param index 出发顶点对应的下标 eg: G -> 6*/public VistedVertex(int length, int index) {this.already_arr = new int[length];this.pre_visited = new int[length];this.dis = new int[length];// 初始化 dis 数组Arrays.fill(dis, DijkstraAlgorithm.INF);// 设置出发顶点已被访问过this.already_arr[index] = 1;// 设置出发顶点的访问距离为 0this.dis[index] = 0;}/***  判断 index 顶点是否被访问过* @param index 顶点对应的下标* @return 若访问过就返回true，否则返回false*/public boolean in(int index) {return already_arr[index] == 1;}/*** 更新出发顶点到 index 顶点之间的距离* @param index 顶点对应的下标* @param len 距离*/public void updateDis(int index, int len) {this.dis[index] = len;}/*** 更新 pre 顶点的前驱为 index 顶点* @param pre 当前前驱顶点对应的下标* @param index 要更新的前驱顶点对应的下标*/public void updatePre(int pre, int index) {this.pre_visited[pre] = index;}// 返回出发顶点到 index 顶点之间的距离public int getDis(int index) {return this.dis[index];}// 继续选择并返回新的访问顶点// 比如这里的 G 完后，就是 A 点作为新的访问顶点(注意不是出发顶点)public int updateArr() {int min = DijkstraAlgorithm.INF;int index = 0;for (int i = 0; i < already_arr.length; i++) {if (already_arr[i] == 0 && dis[i] < min) {min = dis[i];index = i;}}// 更新 index 顶点已被访问过already_arr[index] = 1;return index;}// 打印最后的结果public void print(int index) {System.out.println("\nalready_arr==========================");for (int i : already_arr) {System.out.print(i + " ");}System.out.println("\npre_visited==========================");for (int i : pre_visited) {System.out.print(i + " ");}System.out.println("\ndis==================================");for (int i : dis) {System.out.print(i + " ");}System.out.println();char[] vertexs = {'A','B','C','D','E','F','G'};int count = 0;for (int i : dis) {if (i != DijkstraAlgorithm.INF) {System.out.print(vertexs[index] + "->" + vertexs[count] + "的距离：" + i + "\t");} else {System.out.println("INF");}count++;}}
}

运行结果

从G点开始

从A点开始

从B点开始

注：以上大部分内容来源于韩顺平老师的数据结构和算法笔记

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