二体问题之6：轨道根数及其转化

注：笔记，恳请批评指正。

1. 轨道坐标系

黄道坐标系
原点位于太阳质心，轨道面位于黄道面（地球绕太阳运行平面），x轴指向春分点。
地心黄道坐标系
原点位于地球质心，轨道面位于黄道面（地球绕太阳运行平面），x轴指向春分点。
地心赤道
原点位于地球质心，轨道面位于赤道面（地球绕太阳运行平面），x轴指向春分点。
地心拱线
原点位于地球质心，轨道面位于航天器运行轨道面，x轴指向近地点。
地心轨道
原点位于地球质心，轨道面位于航天器运行轨道面，x轴指向轨道矢径。

2. 轨道根数b⃗\vec{b}b

![[Pasted image 20211025114018.png]]
形状：半长轴、偏心率
面指向：轨道倾角、升交点赤经
拱线指向：近地点辐角

3. 特殊轨道根数

地球赤道轨道
轨道面位于地球赤道面。升交点赤经和近地点辐角共面。定义近地点经度为赤道面上III轴和e⃗\vec{e}e近地点方向夹角
ω~true =Ω+ω\tilde{\omega}_{\text {true }}=\Omega+\omega ω~true =Ω+ω
对于赤道平面轨道的二维情况，近地点JJJ分量在负轴的，逆时针减。
cos⁡(ω~the )=I^⋅e⃗∣I^∣∣e⃗∣,ej<0,ω~the =360∘−ω~t\cos \left(\tilde{\omega}_{\text {the }}\right)=\frac{\hat{I} \cdot \vec{e}}{|\hat{I}||\vec{e}|}, \quad e_{j}<0, \tilde{\omega}_{\text {the }}=360^{\circ}-\tilde{\omega}_{t} cos(ω~the )=∣I^∣∣e∣I^⋅e,ej<0,ω~the =360∘−ω~t
圆倾角轨道
不存在近地点，近地点辐角和偏移角无法定义。定义近地点角度为nnn（轨道面与赤道面交线方向）和航天器矢径方向夹角。
cos⁡(u)=n⃗⋅r⃗∣n⃗∣⋅∣r⃗∣,rk<0,u=360∘−u\cos (u)=\frac{\vec{n} \cdot \vec{r}}{|\vec{n}| \cdot|\vec{r}|}, \quad r_{k}<0, u=360^{\circ}-u cos(u)=∣n∣⋅∣r∣n⋅r,rk<0,u=360∘−u
三维情况，uKKK分量在负轴的，逆时针减。
圆赤道轨道
地球赤道的延申，只有一个真经度，定义为III轴和矢径的夹角。
cos⁡(λtm⁡e)=I^r⃗∣I^∣∣r⃗∣\cos \left(\lambda_{\operatorname{tm}} \boldsymbol{e}\right)=\frac{\hat{I} \vec{r}}{|\hat{I}||\vec{r}|} cos(λtme)=∣I^∣∣r∣I^r

4. RV2COE

通过计算[[积分常数]]，根据定义推导求解公式。

偏心率
e⃗=L⃗μ=v⃗×h⃗−μrr⃗μ=v⃗((r⃗×v⃗)μ⋅r⃗r=(v⃗⋅v⃗)r⃗−(r⃗⋅v⃗)v⃗μ−r⃗r=1μ[(v2⋅μr)r⃗−(r⃗⋅v⃗)v⃗]\begin{aligned} \vec{e}=\frac{\vec{L}}{\mu} &=\frac{\vec{v} \times \vec{h}-\frac{\mu}{r} \vec{r}}{\mu} \\ &=\frac{\vec{v}((\vec{r} \times \vec{v})}{\mu} \cdot \frac{\vec{r}}{r} \\ &=\frac{(\vec{v} \cdot \vec{v}) \vec{r}-(\vec{r} \cdot \vec{v}) \vec{v}}{\mu}-\frac{\vec{r}}{r} \\ &=\frac{1}{\mu}\left[\left(v^{2} \cdot \frac{\mu}{r}\right) \vec{r}-(\vec{r} \cdot \vec{v}) \vec{v}\right] \end{aligned} e=μL=μv×h−rμr=μv((r×v)⋅rr=μ(v⋅v)r−(r⋅v)v−rr=μ1[(v2⋅rμ)r−(r⋅v)v]
半长轴
ξ=v22−μra=−μ2ξ\begin{aligned} &\xi=\frac{v^{2}}{2}-\frac{\mu}{r} \\ &a=-\frac{\mu}{2 \xi} \end{aligned} ξ=2v2−rμa=−2ξμ
倾角
cos⁡(ıˉ)=k^⋅h⃗∣k^∥h⃗∣\cos (\bar{\imath})=\frac{\hat{k} \cdot \vec{h}}{|\hat{k} \| \vec{h}|} cos(ıˉ)=∣k^∥h∣k^⋅h
升交点赤经
n⃗=k^×h⃗\vec{n}=\hat{k} \times \vec{h} n=k^×h
cos⁡(Ω)=I^⋅n⃗∣I^∣∣n⃗∣nj<0,Ω=360∘−Ω\cos (\Omega)=\frac{\hat{I} \cdot \vec{n}}{|\hat{I}||\vec{n}|} \quad n_{j}<0, \Omega=360^{\circ}-\Omega cos(Ω)=∣I^∣∣n∣I^⋅nnj<0,Ω=360∘−Ω
近地点辐角
cos⁡(ω)=n⃗⋅e⃗∣n~∣∣e⃗∣ek<0,ω=360∘−ω\cos (\omega)=\frac{\vec{n} \cdot \vec{e}}{|\tilde{n}||\vec{e}|} \quad e_{k}<0, \omega=360^{\circ}-\omega cos(ω)=∣n~∣∣e∣n⋅eek<0,ω=360∘−ω
真近点角
cos⁡(v)=e⃗⋅r⃗∣e⃗∣∣F⃗∣r⃗⋅v⃗<0,v=360∘−v\cos (v)=\frac{\vec{e} \cdot \vec{r}}{|\vec{e}||\vec{F}|} \quad \vec{r} \cdot \vec{v}<0, v=360^{\circ}-v cos(v)=∣e∣∣F∣e⋅rr⋅v<0,v=360∘−v

5. COE2RV

基本思路是首先用偏移角表示轨道坐标系PQWPQWPQW速度和矢径矢量。再通过坐标变换转得到赤道地心坐标系IJKIJKIJK。

在PQWPQWPQW中
r⃗PQW=[rcos⁡(v)rsin⁡(v)0],v⃗PQW=[rcos⁡(v)−rv˙sin⁡(v)r˙sin⁡(v)+rc˙cos⁡(v)0]\vec{r}_{PQW}=\left[\begin{array}{c} r \cos (v) \\ r \sin (v) \\ 0 \end{array}\right], \quad \vec{v}_{\text {PQW}}=\left[\begin{array}{c} r \cos (v)-r \dot{v} \sin (v) \\ \dot{r} \sin (v)+r \dot{c} \cos (v)\\ 0 \end{array}\right] rPQW=⎣⎡rcos(v)rsin(v)0⎦⎤,vPQW=⎣⎡rcos(v)−rv˙sin(v)r˙sin(v)+rc˙cos(v)0⎦⎤

根据[[速度描述]]
r=p1+ecos⁡(v)rv˙=hr=μPP(1+ecos⁡(v))r=μp(estn⁡(v))\begin{aligned} &r=\frac{p}{1+e \cos (v)} \\ &r \dot{v}=\frac{h}{r}=\frac{\sqrt{\mu P}}{P}(1+e \cos (v)) \\ &r=\sqrt{\frac{\mu}{p}}(\operatorname{estn}(v)) \end{aligned} r=1+ecos(v)prv˙=rh=PμP(1+ecos(v))r=pμ(estn(v))

得到
v⃗PQW=[−μPsin⁡(v)μp(e+cos⁡(v))0]\vec{v}_{PQW}=\left[\begin{array}{c} -\sqrt{\frac{\mu}{P}} \sin (v) \\ \sqrt{\frac{\mu}{p}}(e+\cos (v))\\ {0} \end{array}\right] vPQW=⎣⎢⎡−Pμsin(v)pμ(e+cos(v))0⎦⎥⎤

接下来坐标变换

想得到IJKIJKIJK中坐标表示，续从右向左将PQWPQWPQW绕Z逆时针转近地点辐角，再绕X逆时针转轨道倾角，再绕Z逆时针转升交点赤经。
[IJKPOW ]=ROT3(−Ω)ROT1(−i)ROT⁡3(−ω)\left[\frac{I J K}{\text { POW }}\right]=R O T 3(-\Omega) R O T 1(-i) \operatorname{ROT} 3(-\omega) [ POW IJK]=ROT3(−Ω)ROT1(−i)ROT3(−ω)
rIJk =[IJKPQW]rPQWvIJk =[IJKPQW]vPQW \begin{aligned} &r_{\text {IJk }}=\left[\frac{I J K}{P Q W}\right] r_{P Q W} \\ &v_{\text {IJk }}=\left[\frac{I J K}{P Q W}\right] v_{\text {PQW }} \end{aligned} rIJk =[PQWIJK]rPQWvIJk =[PQWIJK]vPQW