Column generation

1 起源

列生成广泛应用于大规模整数规划问题的求解中，尤其在装箱和切割问题、并行机调度问题、车辆路线问题的相关研究中。另外列生成算法也被用于乘务员调度、通信网络中的信道分配、多商品流等问题的研究中。（Gilmore and Gomory，1961年）首次将列生成技术用于求解一维切割问题（Cutting Stock Problem）；（Desrosiers et al，1984）将列生成与分支定界结合以求解带时间窗的车辆路径问题；事实上，列生成得以广泛应用在于其求解（混合）整数规划问题所表现的卓越性能。

2 列生成算法基本思路

考虑下面的线性规划问题，称为主问题（Master problem，MP）：

MP中有|J|=n个变量和m个约束条件，若n>>m，则想要直接求解是不可能的。相反的，考虑一个限制主问题（Restricted master problem，RMP），其变量为子集 J ′ J' J′ ⊆ \subseteq ⊆ J J J，令为 λ ∗ λ^{*} λ∗是RMP问题的一个最优解（并不一定是MP问题的最优解）。在单纯形法的每一次迭代中，需要找一个检验数为负的非基变量入基，在列生成算法中则是通过一个定价子问题（Pricing problem，PP）实现的。
P P : m i n { c j − π ∗ a j ∣ j ∈ J } PP: min \{c_j-\pi^*a_j|j∈J \} PP:min{cj−π∗aj∣j∈J}
若 P P < 0 PP<0 PP<0，则将对应的变量 λ i \lambda_i λi和其系数列 ( c j , a j ) (c_j,a_j) (cj,aj)加入到RMP中，然后求解新的RMP得到新的最优对偶变量值，重复这个过程直至找不到新的入基变量。此时， λ ∗ \lambda^* λ∗也是主问题MP的最优解了。列生成的优势在于无需考虑所有候选变量的迭代，而是通过其他的隐式搜索（implicit search）来寻找负消减成本（negative reduced cost，对应于单纯形法迭代中的额检验数）的列作为候选的入基变量。

Cutting Stock Problem

数学模型

列生成算法的一个经典例子是一维切割问题：给定宽度为 W W W的原料，需要切割 d i d_i di个宽度为 w i w_i wi的坯料，如何切割才能使用料最省？
MP:

RMP:

PP:

Java代码

分为3个类：Data类存放已知数据；CuttingStockProblem 算法类；Test程序运行。

package colgen_csp;//class Data {//    static double _rollWidth = 17;// 木材长度
//    static double[] _size = new double[] { 3, 5, 9 };;// 木材需求尺寸
//    static double[] _amount = new double[] { 25, 20, 15 };;// 需求量
//}
class Data {// 木材长度static double _rollWidth = 5600;// 木材需求尺寸static double[] _size = new double[]{1380, 1520, 1560, 1710, 1820, 1880, 1930, 2000, 2050, 2100, 2140, 2150, 2200};// 需求量static double[] _amount = new double[]{22, 25, 12, 14, 18, 18, 20, 10, 12, 14, 16, 18, 20};
}

package colgen_csp;import ilog.concert.*;
import ilog.cplex.*;import static net.mindview.util.Print.*;public class CuttingStockProblem {static double _width;static double[] _size;static double[] _amount;static void init() {_width = Data._rollWidth;_size = Data._size;_amount = Data._amount;print("width of the roll: " + _width);print("demand width:");for (double size : _size)printnb(size + " ");print();print("demand amount:");for (double amount : _amount)printnb(amount + " ");}static class IloNumVarArray {int _num = 0;IloNumVar[] _array = new IloNumVar[32];void add(IloNumVar ivar) {if (_num >= _array.length) {IloNumVar[] array = new IloNumVar[_array.length * 2];System.arraycopy(_array, 0, array, 0, _num);_array = array;}_array[_num++] = ivar;}IloNumVar getElement(int index) {return _array[index];}int getSize() {return _num;}}static void writeAnsRMP(IloCplex RMP, IloNumVarArray vars, IloRange[] Fill) throws IloException {print();print("using" + RMP.getObjValue() + " rolls");print();for (int i = 0; i < vars.getSize(); i++) {System.out.format("using pattern" + i + "=" + RMP.getValue(vars.getElement(i)) + "times");}print();for (int i = 0; i < Fill.length; i++) {print("Duals" + i + "=" + RMP.getDual(Fill[i]));}print();}static void writeAnsPP(IloCplex PP, IloNumVar[] Use) throws IloException {print();print("reduced cost = " + PP.getObjValue());print();/*PP.getObjValue() <= -RC_EPS*/if (PP.getObjValue() < 0) {for (int i = 0; i < Use.length; i++)System.out.println("  Use" + i + " = " + PP.getValue(Use[i]));// 输出新的切法System.out.println();}}static void writeAns(IloCplex RMP, IloNumVarArray vars) throws IloException {print();print("Best solution uses " + RMP.getObjValue() + "rolls");for (int i = 0; i < vars.getSize(); i++) {print(RMP.getValue(vars.getElement(i)));}}public static void solution() {init();try { 限制主问题 //// 建立Cplex参数IloCplex RMP = new IloCplex();RMP.setOut(null);// 最小值问题IloObjective RMP_Obj = RMP.addMinimize();// 建立cplex需求量约束数组,添加约束IloRange[] Fill = new IloRange[_amount.length];for (int i = 0; i < _amount.length; i++) {Fill[i] = RMP.addRange(_amount[i], Double.MAX_VALUE);}IloNumVarArray vars = new IloNumVarArray();int len = _size.length;for (int j = 0; j < len; j++) {IloColumn col = RMP.column(RMP_Obj, 1.0).and(RMP.column(Fill[j], (int) (_width / _size[j])));vars.add(RMP.numVar(col, 0.0, Double.MAX_VALUE));}//选择控制器RMP.setParam(IloCplex.Param.RootAlgorithm, IloCplex.Algorithm.Primal); 定价子问题 //IloCplex PP = new IloCplex();PP.setOut(null);IloObjective ReducedCost = PP.addMinimize();//定义决策变量取值范围IloNumVar[] Use = PP.numVarArray(len, 0, Double.MAX_VALUE, IloNumVarType.Int);PP.addRange(-Double.MAX_VALUE, PP.scalProd(_size, Use), _width); 列生成 //double[] newPatt;for (; ; ) { 限制主问题 //RMP.solve();writeAnsRMP(RMP, vars, Fill);double[] price = RMP.getDuals(Fill); 定价子问题 //ReducedCost.setExpr(PP.diff(1., PP.scalProd(Use, price)));PP.solve();writeAnsPP(PP, Use);if (PP.getObjValue() >= 0)// PP.getObjValue() > -RC_EPSbreak;newPatt = PP.getValues(Use);IloColumn column = RMP.column(RMP_Obj, 1.);for (int i = 0; i < newPatt.length; i++) {column = column.and(RMP.column(Fill[i], newPatt[i]));}vars.add(RMP.numVar(column, 0., Double.MAX_VALUE));}for (int i = 0; i < vars.getSize(); i++) {RMP.add(RMP.conversion(vars.getElement(i), IloNumVarType.Int));}RMP.solve();// 输出最优切法所需木材数以及每种切法所需木材数writeAns(RMP, vars);System.out.println("Solution status: " + RMP.getStatus());RMP.end();PP.end();} catch (IloException e) {e.printStackTrace();}}
}

package colgen_csp;public class Test {public static void main(String[] args) {CuttingStockProblem csp = new CuttingStockProblem();csp.solution();}
}

Reference

Carvalho, J.M.V., 1998. Exact Solution of Cutting Stock Problems Using Column Generation and Branch-and-Bound. Int Trans Operational Res 5, 35–44.
https://blog.csdn.net/u014090505/article/details/89019327