稳定状态模型（二）：再生资源的管理和开发

稳定状态模型系列博文：

稳定状态模型（一）：微分方程稳定性理论简介：自治系统、动力系统、相平面、相图、轨线、奇点、孤立奇点；

稳定状态模型（二）：再生资源的管理和开发：资源增长模型、资源开发模型、经济效益模型、种群的相互竞争模型

稳定状态模型（三）：Volterra 模型

1 资源增长模型 2 资源开发模型

3 经济效益模型 4 种群的相互竞争模型

渔业资源是一种再生资源，再生资源要注意适度开发，不能为了一时的高产“竭泽而渔”，应该在持续稳产的前提下追求最高产量或最优的经济效益。这是一类可再生资源管理与开发的模型，这类模型的建立一般先考虑在没有收获的情况下资源自然增长模型，然后再考虑收获策略对资源增长情况的影响。

1 资源增长模型

考虑某种鱼的种群的动态。在建立模型之前，做如下的基本假设：

（i）鱼群的数量本身是离散变量，谈不到可微性。但是，由于突然增加或减少的只是单一个体或少数几个个体，与全体数量相比，这种增长率是微小的。所以，可以近似地假设鱼群的数量随时间连续地，甚至是可微地变化。

（ii）假设鱼群生活在一个稳定的环境中，即其增长率与时间无关。

（iii）种群的增长是种群个体死亡与繁殖共同作用的结果。

（iv）资源有限的生存环境对种群的繁衍，生长有抑制作用，而且这一作用与鱼群的数量是成正比的。

2 资源开发模型

建立一个在捕捞情况下渔场鱼量遵从的方程，分析鱼量稳定的条件，并且在稳定的前提下，讨论如何控制捕捞使持续产量或经济效益达到最大。

设单位时间的捕捞量与渔场鱼量 x(t) 成正比，比例系数k 表示单位时间捕捞率，k 可以进一步分解分解为k = qE ，E 称为捕捞强度，用可以控制的参数如出海渔船数来度量； q 称为捕捞系数，表示单位强度下的捕捞率。为方便取 q = 1，于是单位时间的捕捞量为 h(x) = Ex(t)。 h(x) = 常数，表示一个特定的捕捞策略，即要求捕鱼者每天只能捕捞一定的数量。这样，捕捞情况下渔场鱼量满足方程

这是一个一阶非线性方程，且是黎卡提型的。也称为 Scheafer 模型。

3 经济效益模型

当今，对鱼类资源的开发和利用已经成为人类经济活动的一部分。其目的不是追求最大的渔产量而是最大的经济收益。因而一个自然的想法就是进一步分析经济学行为对鱼类资源开发利用的影响。如果经济效益用从捕捞所得的收入中扣除开支后的利润来衡量，并且简单地设鱼的销售单价为常数 p ，单位捕捞强度（如每条出海渔船）的费用为常数c ，那么单位时间的收入T 和支出 S 分别为

与前一模型相比较可以看出，在最大效益原则下捕捞强度和持续产量均有减少，而渔场的鱼量有所增加。并且，减少或增加的比例随着捕捞成本c 的增长而变大，随着销售价格 p 的增长而变小，这显然是符合实际情况的。

4 种群的相互竞争模型

稳定状态模型系列博文：

稳定状态模型（一）：微分方程稳定性理论简介：自治系统、动力系统、相平面、相图、轨线、奇点、孤立奇点；

稳定状态模型（二）：再生资源的管理和开发：资源增长模型、资源开发模型、经济效益模型、种群的相互竞争模型

稳定状态模型（三）：Volterra 模型