正态分布转换至标准正态分布的意义

在讲这个问题之前，首先抛出一个问题：如何求函数的定积分？通常我们首先找到该函数的原函数，将定积分的上下限分别代入原函数中计算这两个值的差值作为定积分的值。但是对于复杂函数的定积分，我们很难一眼就能发现该函数所对应的原函数，那该怎么办？我们可以做定积分变量替换，替换之后，会发现可以根据基本的积分公式进行积分求值了。所以一切都是为了求积分，正态分布转标准正态分布也是这个目的，方便求值。

1. 定积分变量替换

在做变量替换时，注意积分上下限也跟着变换。

2. 正态分布转换标准正态分布的推导过程

发现， z服从标准正态分布，概率密度函数为：

注意：这里面变量x由z进行替换，那么原先x变量的积分上下限由函数对应到z的上下限

3. 由正态分布转换至标准正态分布意义

我们知道标准正态分布求积分非常方便，可以通过查表就可以直接获得积分数值，如下图所示：

通过上述表格，我们可以直接得到各个区段的积分，也即是各个区段的概率和，因此转换的目的就在于此。

参考文献：1. https://www.zhihu.com/question/30121927

2. https://www.shuxuele.com/data/standard-normal-distribution-table.html

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