Matlab入门（二）：Matlab中最基本的向量与矩阵运算

因课题需要，根据书籍初步自学matlab，结合刷教程书的一点心得，做一个简单记录，方便自己能形成一个输入输出循坏，加深理解和记忆。

参考书籍：Matlab揭秘，David McMahon著，郑碧波译.

二、Matlab中最基本的向量与矩阵运算知识

1、对向量的操作

1）向量的基本运算：

定义一个向量

创建一个列向量，元素与元素之间用分号(;)隔开，如 a = [2; 1; 4];
创建一个行向量，元素与元素之间用空格(space)或者逗号(,)隔开，如 b = [3, 1, 5];

向量的转置、共轭转置

向量转置可以使用(')来完成，如 b = a'；
当向量元素中涉及到复数时，转置运算会自动完成共轭转置。
如果只想转置而不进行共轭处理，可以使用(.')，如 b = a.';

向量的加减运算、数乘法运算

Matlab中向量的加减运算只用参与运算的向量同型即可，数乘法的运算规则和线性代数中一致。

向量的幂方运算

在Matlab中向量的乘方必须在幂运算符( ^)前面加上句号(.)，
只有这样才是对向量每一个元素进行幂运算，否则将报错。如 y = x .^2;

向量的点积与叉积（数量积与向量积）

向量的点积要通过点乘运算（.*）来完成，否则无法满足点积的定义。
同时，点积运算也可以使用dot(a, b)命令来完成。

向量的叉积则要求两个向量必须是三维的，然后使用cross命令来实现，如 c = cross(a, b);

向量的模（两种求解方法）

一是根据点积定义长度来求解，即一个向量的模的平方就等于它与自身做点积，如 a = sqrt(a .* a)。
同时要注意的是，对于复数向量的模，我们必须先求解向量的共轭向量。
如果是直接用转置符号求共轭转置，将会出错，这里应该严格使用conj命令求解共轭向量，然后再用它们做点积。

二是使用dot(a, b)来求点积，然后开根号，这样即使是复数向量，也不会出错。（推荐使用，简单明了）

2）向量的复杂运算:

由小向量合并得到大向量：

Matlab中提供了一种操作，可以允许我们把向量合并在一起创建新向量。
两个列向量合并为一个列向量，两个行向量合并为一个行向量。
如 a = [1; 4; 5]; b = [2; 3; 4]; c = [a; b]; 或m = [1, 2, 3]; n = [2, -1, 3]; k = [m, n];

创建等差元素向量

根据问题需要，我们可以创建元素间距相等的向量，语法为：x = [x0 : q : xn];
如 x = [0 : 2 : 10] = 0  2  4  6  8  10

特征化向量（一些便捷操作）

测量向量的长度（length）
求解向量元素中的最值（max、min）
向量所有元素求和（sum）
返回向量中每个元素的绝对值（abs）

引用向量元素

对于向量元素的引用，有常见的三种类型：
一是引用其中某一个元素，如 a(i) = 向量 a 的第 i 个元素;
二是引用整个向量元素，如 a(:);
三是引用其中某一段范围内元素，如 a(4:6) = 向量 a 的第 4 到第 6 个元素。

3）注意事项：

行向量与列向量的区别：行列向量的主要区别在于定义时，一个用分号，而另一个用空格或者逗号，我个人习惯行向量中元素用逗号隔开，便于和列向量一起记忆。
size函数的使用方法和理解：

%总结：
%size命令是用来检查每个数组元素的个数的，我们在这里可以把检查结果存储到
%两个变量sizex和sizeN中。
%举个例子：%x = [1, 2, 3, 4];%sizex = size(x)%sizex =%           1     4%y = [1, 2, 3, 4; 5, 6, 7, 8];%sizey = size(y)%sizey =%            2     4

^ or .^，* or .* 等类似运算的区别：

对于向量运算来说，因为我们处理的通常是一行或者一列数据，
那么如果仅仅是 ^ 或 *，它的意义更像是处理单个数据，而不适合于向量或矩阵运算，
因此Matlab规定了对向量或矩阵运算时必须要使用加点运算。

即向量中用 .^ 和 .*

2、对矩阵的操作

1）矩阵的简单运算：

矩阵的建立：

矩阵的建立同向量类似，只不过是行数和列数增多。
如 A = [1, 2, 3; 4, 5, 6]就能建立一个2行3列的矩阵。

矩阵的转置、共轭转置：

严格来说，向量也是矩阵的一种，所以我们原本应当先定义矩阵的转置/共轭转置，再来定义向量的相应操作。

这里直接给出矩阵的转置如何实现：' 表示转置；.' 表示在复数出现的情况下，只进行转置，而不进行共轭操作。

矩阵的加减运算：和向量类似，当两个矩阵同型时，便可以进行加减运算。
矩阵相乘与数组相乘：

 当两个矩阵的行列数满足一定关系时，便可以进行矩阵相乘，如 C = A*B; 而两个矩阵按数组相乘运算时，得到的结果往往与矩阵相乘的结果不一样。数组相乘是让两个矩阵对应位置的元素直接做乘法，得到结果拼成新矩阵，如 D = A.*B。此外，数组相乘时两个矩阵必须完全同型，这一点不同于矩阵相乘中A的列数与B的行数匹配即可。

2）矩阵的复杂运算：

矩阵的乘方运算：

此处所说的矩阵的乘方运算，是指的对矩阵上每一个元素乘方，而不是矩阵作为一个整体乘方，
整体乘方可以使用矩阵乘法(C = A*B)来实现。
矩阵元素乘方语法为(A.^n)，如：A = [2, 4; -1, 6]; A .^ 2 = [4, 16; 1, 36]

引用矩阵的元素：

类似于引用向量的元素，我们对于矩阵元素的引用也可以分为三大类：
一是引用某一个具体元素，如 A(3, 4);
二是引用某一行/列，如 A(:, i) = 第 i 列所有元素;
三是引用某一块元素，如 A(m:n, i:j) = A中第 m 到 n 行，第 i 到 j 列的所有元素组成的小元素块。
同时，通过结合赋值运算符 '=' 我们还可以改变矩阵中任意元素的值。

我们还可以通过方括号留空的形式删除矩阵的行和列，如 A(2, ;) =[]; 这便删除了A的第2行。

矩阵的一些其他运算：

在Matlab允许对矩阵做一些较为特殊的操作如：
一对矩阵中每个元素加上同一个数，如 A = [1, 2, 3, 4]; B = 2 + A = [3, 4, 5, 6];
二是对矩阵进行左除(.\)和右除(./)，这时要求矩阵完全同型，对应元素之间匹配相除。
如 A = [2, 4, 6, 8]; B = [2, 2, 3, 1]; C = A .\ B = [1, 0.5, 0.5, 0.125]; D = A ./ B = [1, 2, 2, 8];
注意：矩阵的左除和右除运算便实现了线性代数中方程组求解的代码转换

常见的一些特殊矩阵：

eyes(n)：nxn的单位矩阵
zeros(m, n)：mxn的零矩阵
ones(m, n)：mxn的全1矩阵
magic(n)：n阶幻方矩阵
sparse(m, n)：mxn的稀疏矩阵（后面会提到）

3）注意事项：

size函数在矩阵运算中的作用：与向量中操作类似，下给出向量段中的注释代码：

%总结：
%size命令是用来检查每个数组元素的个数的，我们在这里可以把检查结果存储到
%两个变量sizex和sizeN中。
%举个例子：%x = [1, 2, 3, 4];%sizex = size(x)%sizex =%           1     4%y = [1, 2, 3, 4; 5, 6, 7, 8];%sizey = size(y)%sizey =%            2     4

3、线性代数问题在Matlab中如何实现

1）用Matlab求矩阵的行列式、秩、逆矩阵与伪逆矩阵

求矩阵的行列式：

det(A) = A 的行列式

求矩阵的秩：

rank(A) = r = A的秩

求矩阵的逆矩阵或伪逆矩阵(亦称广义逆矩阵)：

inv(A) = A的逆矩阵
pinv(A) = A的广义逆矩阵（在求解有无数解向量的线性方程组时可能会用到）

2）用Matlab解线性方程组

解法1：左除除法：

A*x = b; x = A \ b;

解法2：矩阵乘法：

A*x = b; x = inv(A) * b;

3）用Matlab简化矩阵

简化成梯形矩阵：

rref(A) = 按Gauss-Jordan消元法产生矩阵A降行后的梯形形式。

对矩阵进行LU、QR或SVD分解：

这里仅给出LU分解的语句指令如下：[L, U] = lu(A);
需要注意的是，这里是一种广义的LU分解，其得到的结果矩阵中，对角线元素不一定为1，也不一定为三角矩阵。

4）注意事项：关于向量和矩阵的运算操作，上述只是列举了一些最基本的，还有许多操作没有列出，可以查阅其他资料或者官方帮助文档，在后续文章中，也会把学习过程中碰到的向量矩阵相关操作记录下来。

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二、Matlab中最基本的向量与矩阵运算知识

1、对向量的操作

1）向量的基本运算：

2）向量的复杂运算:

3）注意事项：

2、对矩阵的操作

1）矩阵的简单运算：

2）矩阵的复杂运算：

3）注意事项：

3、线性代数问题在Matlab中如何实现

1）用Matlab求矩阵的行列式、秩、逆矩阵与伪逆矩阵

2）用Matlab解线性方程组

3）用Matlab简化矩阵

4）注意事项：关于向量和矩阵的运算操作，上述只是列举了一些最基本的，还有许多操作没有列出，可以查阅其他资料或者官方帮助文档，在后续文章中，也会把学习过程中碰到的向量矩阵相关操作记录下来。

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