矩阵分析与应用(17)
学习来源：《矩阵分析与应用》 张贤达 清华大学出版社
QR 分解及其应用
1. Givens 旋转
Givens 旋转就是初等旋转变换。在 维向量空间中，通过固定
维不变，在剩下的两维构成的平面上做旋转变换。基本结构如下：
（1）
矩阵 满足：
矩阵 可以看成是
阶单位矩阵
修改而成：将
位于
上的元素分别替换为
，其它元素保持不变。其中的
通常称为旋转角，矩阵
通常叫做初等旋转矩阵，它所确定的线性变换叫做初等线性变换，也可以叫做吉文斯（Givens）变换。
矩阵 具有性质：
1） ；
2） 对应的初等旋转变换是正交变换，
是正交矩阵。
2. 采用 Givens 旋转的 QR 分解
Givens 旋转也可以用来计算 QR 分解。以 矩阵为例，说明 Givens QR 分解的思想：
其中， 表示使用 Givens 旋转进行变换的元素。
从上述过程可以得出：如果令 表示约化过程中的第
次 Givens 旋转，则
是上三角矩阵，其中
，而
是总的旋转次数。
3. 例
通过 Givens 旋转求解矩阵
的 QR 分解。
1）首先将 变换为 0 ：
取 Givens 矩阵
其中，
所以有：
2）将 变换为 0：
取 Givens 矩阵
其中，
有：
3）因此有
即，矩阵 的 QR 分解为：
，
。
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