北京交通大学2022-2023学年第一学期研究生《随机过程I》试题
北京交通大学随机过程I2022-2023第1学期期末考试试题

我有一个朋友是北交的研究生，他告诉我他们好多数学课都没有近年的数学真题。所以他在2023年2月24日考完随机过程之后冒着巨大的风险搞到了他的题目并亲手交给我要我发布，我为了不辱他的重托现将真题发布。本试题无PDF版本。

北京交通大学

2022年-2023学年第一学期研究生《随机过程I》试题

（注：本试卷满分100分，共六道大题）

1.（10分）

设两个泊松过程 { N 1 ( t ) , t ≥ 0 } \ \left \{ N_{1}(t),t\ge 0\right \} {N1(t),t≥0}和 { N 2 ( t ) , t ≥ 0 } \ \left \{ N_{2}(t),t\ge 0\right \} {N2(t),t≥0}强度分别是 λ 1 \ \lambda _{1} λ1和 λ 2 \ \lambda _{2} λ2且相互独立。证明： N t = N 1 ( t ) + N 2 ( t ) \ N_{t}=N_{1}(t)+N_{2}(t) Nt=N1(t)+N2(t)是强度为 λ 1 + λ 2 \ \lambda _{1} + \lambda _{2} λ1+λ2的泊松过程。

2.(20分)

设 { N ( t ) , t ≥ 0 } \ \left \{ N(t),t\ge 0\right \} {N(t),t≥0}是强度为 λ \ \lambda λ的齐次泊松过程， S 0 = 0 ， S n \ S_{0}=0，S_n S0=0，Sn表示第n个事件发生的时刻。
（1）求 S n \ S_n Sn的概率密度函数 f S n ( t ) \ f_{S_n}(t) fSn(t);
（2）求 ( S 1 , S 2 ) \ (S_1,S_2) (S1,S2)的联合概率密度函数 f ( s 1 , s 2 ) \ f(s_1,s_2) f(s1,s2);
（3）求条件期望 E ( S 1 ∣ S 2 = s 2 ) \ E(S_1\mid S_2=s_2) E(S1∣S2=s2).

3.(20分)

设齐次马氏链 { X n , n ≥ 0 } \ \{X_n, n\ge0\} {Xn,n≥0}的状态空间为 E = { 1 , 2 } \ E=\{1,2\} E={1,2}，其转移概率矩阵为
P = [ 3 4 1 4 1 2 1 2 ] \ P=\begin{bmatrix} \frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\ \frac{1}{2}&\frac{1}{2} \end{bmatrix} P=[43214121],
初始分布为 P ( X 0 = 1 ) = p , P ( X 0 = 2 ) = 1 − p ( 0 < p < 1 ) \ P(X_0 =1)=p,P(X_0 =2)=1-p (0<p<1) P(X0=1)=p,P(X0=2)=1−p(0<p<1)。对任意的 n ≥ 1 \ n \ge 1 n≥1,试求：（1） P ( X n + 2 = 2 ∣ X n = 2 ) \ P(X_{n+2} =2\mid X_n=2) P(Xn+2=2∣Xn=2)；(2) P ( X n = 1 ) 与 P ( X n = 2 ) \ P(X_{n} =1)与P(X_{n} =2) P(Xn=1)与P(Xn=2)

4.（20分）

设 { X n } \ \{X_n\} {Xn}为齐次马氏链，证明：
（1）对任何非负整数m,n,则有 P i j m + n = ∑ k ∈ E P i k ( m ) P k j ( n ) \ P_{ij}^{m+n}=\sum_{k\in E }P_{ik}^{(m)}P_{kj}^{(n)} Pijm+n=∑k∈EPik(m)Pkj(n)；
（2）若 i → k , k → j \ i \to k,k \to j i→k,k→j,则有 i → j \ i \to j i→j.

5.(10分)

不断地掷一枚骰子，以 X n \ X_n Xn表示前n次掷出的点数最大值，则随机序列 { X n , n ≥ 1 } \ \{ X_n,n \ge 1 \} {Xn,n≥1}是一马氏链，求其一步转移概率矩阵。

6.（20分）

（1）设马氏链 { X n } \ \{ X_n \} {Xn}的状态空间为E={1，2，3，4}，转移概率矩阵为
P = [ 0 0 1 0 1 0 0 0 0.5 0.5 1 0 0.6 0.2 0.2 0 ] \ P=\begin{bmatrix} 0&0&1&0\\ 1&0&0&0\\ 0.5&0.5&1&0\\ 0.6&0.2&0.2&0\\ \end{bmatrix} P= 010.50.6000.50.21010.20000 ,
试分解此链，指出其非常返集和基本常返闭集，并说明常返闭集中的状态是否为正常返态。

（2）设马氏链 { X n } \ \{X_n\} {Xn}的状态空间为 E={1，2，3}，转移概率矩阵为
P = [ 1 3 2 3 0 1 3 1 3 1 3 0 1 2 1 2 ] \ P=\begin{bmatrix} \frac{1}{3}&\frac{2}{3}&0\\ \frac{1}{3}&\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\ 0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\ \end{bmatrix} P= 3131032312103121 ,
讨论此马氏链的状态分类、周期性并求其平稳分布和极限分布。