Buffon's Needle

问题：平面上有一组相距为ddd的平行直线，将一根长为lll的针随机丢向该平面，求该针与其中一条直线相交的概率。（为保证针不会同时与两条平行的直线相交，假设l<dl < dl<d）。

将针中点与最近直线的距离用随机变量XXX表示，针与直线相交形成的锐角用随机变量Θ\ThetaΘ表示。

随机变量(X,Θ)(X, \Theta)(X,Θ)的联合概率密度函数可表示为
fX,Θ(x,θ)={4/πd,x∈[0,d/2]且θ∈[0,π/2]0其他f_{X,\Theta} (x,\theta) = \begin{cases} 4 / \pi d, & x \in [0, d/2] \text{且} \theta \in [0, \pi/2] \\ 0 & \text{其他} \end{cases} fX,Θ(x,θ)={4/πd,0x∈[0,d/2]且θ∈[0,π/2]其他
当随机变量XXX和随机变量Θ\ThetaΘ满足如下关系时，针与直线相交
X≤l2sin⁡ΘX \leq \frac{l}{2} \sin \Theta X≤2lsinΘ
则针与平面上一条直线相交的概率为
P(X≤(l/2)sin⁡Θ)=∬x≤(l/2)sin⁡θfX,Θ(x,θ)dxdθ=∫0π/2∫0(l/2)sin⁡θ4πddxdθ=4πd∫0π/2l2sin⁡θdθ=2lπd[−cos⁡θ]0π/2=2lπd\begin{aligned} P(X \leq (l/2) \sin \Theta) & = \iint_{x \leq (l/2) \sin \theta} f_{X,\Theta} (x,\theta) dx d\theta \\ & = \int_{0}^{\pi / 2} \int_{0}^{(l/2) \sin \theta} \frac{4}{\pi d} dx d\theta \\ & = \frac{4}{\pi d} \int_{0}^{\pi / 2} \frac{l}{2} \sin \theta d\theta \\ & = \frac{2 l}{\pi d} [-\cos \theta]_{0}^{\pi/2} \\ & = \frac{2 l}{\pi d} \end{aligned} P(X≤(l/2)sinΘ)=∬x≤(l/2)sinθfX,Θ(x,θ)dxdθ=∫0π/2∫0(l/2)sinθπd4dxdθ=πd4∫0π/22lsinθdθ=πd2l[−cosθ]0π/2=πd2l

Buffon's Needle相关推荐

Buffon's Needle An Analysis and Simulation------蒙特卡洛法模拟蒲丰（Buffon）投针实验-使用Matlab
Buffon's Needle An Analysis and Simulation 蒲丰投针实验是一个著名的概率实验,其原理请参见此页: http://www.mste.uiuc.edu/reese ...
Buffon投针实验
Buffon's Needle 桌面上有距离为a的若干平行线,将长度为L的针随机丢在桌面上,则这根针与平行线相交的概率是多少?假定L < a. 思路:从针据横线的距离与夹角得出. 解决: ...
[概统]本科二年级概率论与数理统计第二讲几何概型
[概统]本科二年级概率论与数理统计第二讲几何概型蒲丰投针问题 Buffon's Needle Problem 伯川德悖论 Bertrand Paradox 几何概型的思想非常简单,用图形表示事 ...
布丰投针java实现,MATLAB模拟布丰投针实验
MATLAB模拟布丰投针实验标签(空格分隔): 算法 Buffon's Needle 桌面上有距离为a的若干平行线,将长度为L的针随机丢在桌面上,则这根针与平行线相交的概率是多少?假定L < ...
【Reinforcement Learning】蒙特卡洛算法
强化学习相关的蒙特卡洛算法的介绍.此处笔记根据B站课程,王树森老师的强化学习记录而来.6.蒙特卡洛 Monte Carlo(Av374239425,P6)_哔哩哔哩_bilibili 1.Monte ...
MATLAB模拟布丰投针实验
MATLAB模拟布丰投针实验标签(空格分隔): 算法 Buffon's Needle 桌面上有距离为a的若干平行线,将长度为L的针随机丢在桌面上,则这根针与平行线相交的概率是多少?假定L < ...
用一根线模拟浦丰投针实验——Java
用一根线模拟浦丰投针实验--Java 浦丰投针实验(Buffon's needle problem) 本文先给出正确的推理过程,错误的推导过程放在文章末尾,方便大家探讨. 不多废话,直奔主题. ...
最硬核的独立蒙特卡洛抽样法
最硬核的独立蒙特卡洛抽样法蒙特卡洛法,也称为统计模拟方法,是通过从概率模型的随机抽样进行近似数值计算的方法. 模拟是指把某一现实的或抽象的系统的某种特征或部分状态,用另一系统(称为模拟模型)来代替或 ...
概率论 1.3 古典概型与几何概型
1.3.1 排列与组合排列从n个不同元素任取r(r<=n)个元素排成一列(考虑元素出现的先后次序),称此为一个排列,此种排列的总数为=n(n-1)....(n-r+1)=n!/(n-r)!, ...

Buffon's Needle

Buffon's Needle相关推荐

最新文章

热门文章