【NOIP2007提高组】矩阵取数游戏

题目背景

NOIP2007提高组试题3。

题目描述

帅帅经常跟同学玩一个矩阵取数游戏：对于一个给定的 n*m 的矩阵，矩阵中的每个元素 aij 均为非负整数。游戏规则如下：
1.每次取数时须从每行各取走一个元素，共 n 个。m 次后取完矩阵所有元素；
2.每次取走的各个元素只能是该元素所在行的行首或行尾；
3.每次取数都有一个得分值，为每行取数的得分之和，每行取数的得分=被取走的元素值*2i ，其中 i 表示第 i 次取数（从1开始编号）；
4.游戏结束总得分为 m 次取数得分之和。
帅帅想请你帮忙写一个程序，对于任意矩阵，可以求出取数后的最大得分。

输入格式

输入文件game.in包括 n+1 行：
第1行为两个用空格隔开的整数 n 和 m 。
第 2～n+1 行为 n*m 矩阵，其中每行有 m 个用单个空格隔开的非负整数。

输出格式

输出文件仅包含 1 行，为一个整数，即输入矩阵取数后的最大得分。

样例数据 1

输入

2 3
1 2 3
3 4 2

输出

82

样例数据 2

输入

1 4
4 5 0 5

输出

122

样例数据 3

输入

2 10
96 56 54 46 86 12 23 88 80 43
16 95 18 29 30 53 88 83 64 67

输出

316994

备注

【数据范围】
60% 的数据满足：1<=m,n<=30 ,答案不超过 1016
100% 的数据满足：1<=m,n<=80 , 0<=aij<=1000

【样例1说明】
第 1 次：第 1 行取行首元素，第 2 行取行尾元素，本次得分为 1*21+2*21=6
第 2 次：两行均取行首元素，本次得分为 2*22+3*22=20
第 3 次：得分为 3*23+4*23=56。总得分为 6+20+56+82

解析：

首先要观察到每一行是互不影响的（这非常重要！！）

然后就可以分开处理了。我们反着来考虑，令 $f[i][j]$ 表示加到左端点为 $i$ 右端点为 $j$ 的最大得分就行了。

由于我太懒只写了60分的，再贴一个别人的100分高精度吧。。。

代码（60分）：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const int Max=35;
int n,m;
long long ans,f[Max][Max],num[Max][Max],Pow[Max];inline long long solve(int i,int l,int r,int x)
{if(f[l][r]) return f[l][r];if(l==r) return num[i][l]*Pow[m];f[l][r]=max(f[l][r],max(solve(i,l+1,r,x+1)+num[i][l]*Pow[x],solve(i,l,r-1,x+1)+num[i][r]*Pow[x]));return f[l][r];
}int main()
{scanf("%d%d",&n,&m),Pow[0]=1;for(int i=1;i<=30;i++) Pow[i]=Pow[i-1]*2;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++) cin>>num[i][j];for(int i=1;i<=n;i++){memset(f,0,sizeof(f));ans+=solve(i,1,m,1);}cout<<ans;return 0;
}

代码（100分）：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <iomanip>
using namespace std;
const int maxnum = 35;
const int M = 100000000;
typedef unsigned long long ll;
int n, m, map[81][81];
struct highNum
{ll num[maxnum];highNum(int length = 1){memset(num, 0, sizeof(num));num[0] = length;}highNum operator = (highNum b){memcpy(num, b.num, sizeof(b.num));return *this;}highNum operator = (int b){*this = highNum();num[num[0]] = b;return *this;}bool operator < (const highNum& b) const{if(num[0] < b.num[0]) return true;if(num[0] == b.num[0]){for(int i = num[0]; i >= 1; --i){if(num[i] > b.num[i]) return false;if(num[i] < b.num[i]) return true;}}return false;}highNum operator + (const highNum& b) const{highNum c = highNum(max(num[0], b.num[0]));for(int i = 1; i <= c.num[0]; ++i){c.num[i] += num[i] + b.num[i];c.num[i + 1] += c.num[i] / M;c.num[i] %= M;}while(c.num[c.num[0] + 1] > 0){++c.num[0];c.num[c.num[0] + 1] += c.num[c.num[0]] / M;c.num[c.num[0]] %= M; }return c;}highNum operator * (const int b) const{highNum c = highNum(num[0]);for(int i = 1; i <= c.num[0]; ++i){c.num[i] += num[i] * b;c.num[i + 1] += c.num[i] / M;c.num[i] %= M;}while(c.num[c.num[0] + 1] > 0){++c.num[0];c.num[c.num[0] + 1] += c.num[c.num[0]] / M;c.num[c.num[0]] %= M;}while(c.num[c.num[0]] == 0 && c.num[0] > 1) --c.num[0];return c;}highNum operator * (const highNum& b) const{highNum c = highNum(num[0] + b.num[0]);for(int i = 1; i <= num[0]; ++i) for(int j = 1; j <= b.num[0]; ++j){c.num[i + j - 1] += num[i] * b.num[j];c.num[i + j] += c.num[i + j - 1] / M;c.num[i + j - 1] %= M;}while(c.num[c.num[0] + 1] > 0){++c.num[0];c.num[c.num[0] + 1] += c.num[c.num[0]] / M;c.num[c.num[0]] %= M;}while(c.num[c.num[0]] == 0 && c.num[0] > 1) --c.num[0];return c;}
};
ostream& operator << (ostream& o, highNum& b)
{o << b.num[b.num[0]];o.setf(ios::fixed);o.width(8);o.fill('0');for(int i = b.num[0] - 1; i >= 1; --i) o << b.num[i];return o;
}
highNum ans, f[81][81], pw[81];
void init()
{cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= n; ++i) for(int j = 1; j <= m; ++j)cin >> map[i][j];pw[1] = 2;for(int i = 2; i <= m; ++i) pw[i] = pw[i - 1] * 2;
}
void work(int row)
{for(int i = 1; i <= m; ++i) for(int j = 1; j <= m; ++j)f[i][j] = highNum();for(int i = 1; i <= m; ++i) f[i][i] = pw[m] * map[row][i];for(int p = 1; p < m; ++p) for(int i = 1; i <= m - p; ++i){int j = i + p;f[i][j] = max(f[i + 1][j] + pw[m - p] * map[row][i], f[i][j - 1] + pw[m - p] * map[row][j]);}ans = ans + f[1][m];
}
int main()
{init();for(int i = 1; i <= n; ++i) work(i);cout << ans;return 0;
}