Python3.6.3

跳台阶一步两步

1. 跳n(n∈N)阶台阶过程中最多有 n//2 步是跳了2阶，2阶步数固定的情况下可以用 C(总步数, 2阶的步数) 求出方法数，再把所有情况都加起来即可。

from math import factorial
from functools import reduce
from scipy.special import comb  # C(N, k)def f1(n):  # sum(C(总步数, n2) for n2 in range(max2))  # max2：2步的数量最大值return sum(comb(n-n2, n2, exact=True) for n2 in range(n//2 + 1))  # 速度比下一句快一个量级# return sum(reduce(lambda a, b: a*b, range(n2+1, n-n2+1) or [1]) // factorial(n- 2*n2) for n2 in range(n//2 + 1))

2. 动态规划：假设n(n∈N)阶台阶的跳法数为F(n)，最后一步要么跳了2阶（前面跳了n-2个台阶，方法数为F(n-2) (n>=2) ），要么跳了1阶（前面跳了n-1个台阶，方法数是F(n-1) ），所以

F(n) = F(n-1) + F(n-2) (n∈N，n>=2) ，

显然：

F(0) = 1，F(1) = 1 。

其实就是斐波那契数列（斐波那契数列通项公式中有无理数，用程序计算结果当n大于70时开始有误差，故不使用通项公式求法）。

关于F(0)=1: F(n)表示的是跳n阶台阶方法的数量，而不是跳了多少步。跳0阶，方法就是不跳，这是一个方法！（当然不同人不同看法，对程序影响其实不大）

斐波那契从前向后：

def f2(n):  # 1stif n < 2:return 1n0, n1 = 1, 1for _ in range(n-1):n0, n1 = n1, n0+n1return n1

斐波那契从后向前 n<=1996（与递归深度限制有关）：

def f3(n, cache=None):  # 2stcache = cache or {0: 1, 1: 1}  # 默认值为可变类型的参数t = cache.get(n)if t is not None:  return t  # 两个get不简化可以省空间，简化了省时间cache[n-2] = f3(n-2, cache)  # Python有递归深度限制，先算n-2比先算n-1能计算更大的ncache[n-1] = f3(n-1, cache)  # 两个赋值分开写比合着能计算的n可能更大（大1，也可能不大，因为最后一层可能是n-2,n-1都到边界也可能只有n-2到边界（与递归深度和边界有关））return cache[n-1] + cache[n-2]

检验：

def _test():for n in range(500):funcs = (f1, f2, f3)res = {f(n) for f in funcs}if len(res) != 1:print(n, [f(n) for f in funcs])breakprint(n, res.pop())else:print(True)if __name__ == '__main__':_test()

n阶台阶，每次可以跳1阶、2阶、3阶、...、n阶

同样考虑最后那一步有n种情况，得到：

F(n) = F(n-1) + F(n-2) + F(n-3) + ... + F(n-n)

= F(0) + F(1) + F(2) + ... + F(n-1) (n∈N*) ①

所以：

F(n-1) = F(0) + F(1) + F(2) + ... + F(n-2) (n∈N，n>=2) ②

① - ② 得：

F(n) = 2·F(n-1) (n∈N*，n>=2) ③

显然：

F(0) = F(1) = 1

所以：

$F(n) = \left\{\begin{matrix} 2^{n-1} & n\in N^{*} \\ 1 & n=0 \end{matrix}\right.$

不建议在③步就用递归或从前向后的解法，那属于数列没学好的做法，明明有更简单的通项公式为什么不用呢，如果这是高中求数列的题，到③就结束，保证你被数学老师一顿乱k

import mathf = lambda n: 2**((n or 1)-1)
# f = lambda n: 2**(n-1) if n else 1
# f = lambda n: math.ceil(2**(n-1))  # 一样快

n阶台阶，每次可以跳1、2、... 、k阶

n阶台阶，每次可以跳m0, m1, m2, ..., mk阶

用零钱凑成n元，零钱有足够量的1、2、5、10、20、50、100元面值

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