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吃豆子过桥问题

　　本题来自于百度校招面试题，通过一个简单的智力问题理解递归问题的解法。

　　一：问题描述

　　一个人要过一座80米的桥，每走一米需要吃一颗豆子，他最多可以装60颗豆子，问最少需要吃多少颗豆子才能走完桥？

　　二：初步分析

　　1.一趟（不折回）最多只能走60米豆子就会被吃完；

　　2.如果有折回，必须保证能够返回到有豆子的地点，且在折回点放下的豆子尽量多；

　　3.尽可能少的折回（次数和折回的距离都要少，毕竟一趟折回就要多消耗一个来回的豆子）；

　　4.折回点的豆子数量要求至少能够走完剩余的部分；

　　三：具体分析

　　1.由条件1得一趟走不完，由条件3我们可以考虑折回尽量少的次数能否走完。

　　先考虑只折回一次，那么此时就要求得折回点的位置。

　　2.由条件3得折回的距离尽量短，那么可以考虑最短的折回距离，很明显应该是20米处；设折回点距离起始位置x米，则此时x=20;那么在x处，需要至少有60颗豆子，一次性拿60颗豆子走完最后一程。

　　那么问题就来了，怎么在x处囤积60颗豆子呢，假使他第一次信心满满的拿着60颗豆子，走到x处就只剩下40颗了，现在不够走完剩余的全程啊，只能放下一部分折回去再取了，那放多少呢，很明显由条件2得我们需要放下20颗，拿着20颗刚好可以折回到起点，继续拿着60颗豆子第二次来到x处，此时手上还有40颗，再捡起第一次放的20颗，共60颗豆子刚好可以走完全程。

　　在这种情况下，我们易知，他共走了（20）*3+（60）= 120米，故吃掉120颗豆子。

　　四：问题拓展

　　如果桥长81米呢？

　　此时我们如果还是只折回一次的话，在21米处还是得有60颗豆子，也就是需要搬运60颗豆子到21米处；分析得不可能只折回一次就搬运60颗豆子到21米处，因此需要再设置一个折返点y，此时x=21，0<y<x；

　　刚才考虑了80米的情况，那么我们可以假设现在在80米的基础上加了1米，因此可以设y=1，即先折回两趟到1米处，这样y处就有60*3-5*(1)=175颗豆子，再从y到x折返1趟，x处就有60*2-3*(20)=60颗豆子，最后从x出发拿着60颗豆子就可以愉快的走过桥了。

　　因此他共走过5*(1)+3*(20)+(60) = 125米，故吃掉125颗豆子。

　　五：再次拓展

　　如果桥长n米，最多装m颗豆子，最少消耗f(n,m)与n和m的关系是什么呢？

　　此时问题突然就变得很复杂了，别急，我们分析一下刚才的思路，桥长从80米到81米，就是要在1米处放足够多豆子（当然只要不小于桥长80米时的消耗就行），那么这些豆子又需要从起点处运到1米处，那么在这1米内又需要消耗多少豆子呢？

　　我们可以考虑先把可装的最大豆子数m固定（假设还是60），当桥长0<n<=60米时，f(n,m) = n；

　　当n=61时，需要在1米处囤积f(n-1,6)即f(60,60)=60颗豆子，囤积过程中需要往返一次，第一次到达1米处留下58颗豆子赶紧回去再取60颗到达1米处还剩59颗，现在有117颗足够走完最后60米。消耗豆子1*2+(1)+60 = 63颗豆子；

　　当n=62时，需要在1米处囤积f(n-1,m)即f(61,60)=63颗豆子，囤积过程中需要往返一次，第一次到达1米处留下58颗豆子赶紧回去再取60颗到达1米处还剩59颗，现在有117颗足够走完最后61米。消耗豆子1*2+(1)+63 = 66颗豆子；

　　以此类推...

　　那么问题来了，细心的你肯定发现了上面那种情况都是往返一次的，但是不是每次都只往返一次，比如当n=81时，该怎么确定往返的次数呢？

　　分析上面的递推关系我们可以知道，每次往返的趟数与f(n-1,m)的大小有关。分析往返过程易知：最后一次到达1米处剩59颗豆子，之前每次到达1米处可以放下58颗豆子，假设之前到达了1米处T次，则有：

　　59 + 58 * T >= f(n-1,60)  ==>  T >= [f(n-1,60)-59]/58

　　由于T必须是整数，故T = ceil((f(n-1,60)-59) / 58)，ceil(x)表示对x向上取整，即不小于x的最小整数

　　另一种表示方式为T = floor( (f(n-1,60)-2) / 58 )，这种写法是为了方便编程实现，整型数的除法会自动向下取整

　　之前往返T次消耗掉2T颗豆子，最后一次到达1米处消耗1颗豆子，故总消耗：f(n-1,60) + 2T + 1颗豆子

　　这时候我们考虑将固定为60的m扩展为任意m，则有：f(n,m) = f(n-1,m) + ceil( f(n-1,m)-(m-1)) / (m-2) ) * 2+ 1 = f(n-1,m) + (f(n-1,m)-2) / (m-2) * 2+ 1 ;

　　好了到这里，这个问题也彻底解决完了，现在就让我们用简短的代码来实现这个过程吧！

　　六：编程实现 　　

 1 #include<cmath>2 #include<iostream>3 using namespace std;4 typedef unsigned long long int64;5 6 //参数说明:length为桥的长度,maxNum为最大可带的豆子数7 //递归实现8 int64 getMinConsume(int length, int maxNum) {9     if(length <= maxNum)
10         return length;
11     int64 get_n_1 = getMinConsume(length-1,maxNum); //上一次的豆子消耗
12     return get_n_1 + (get_n_1-2)/(maxNum-2) * 2 + 1;
13 }
14 //第二种公式实现——递归
15 int64 getMinConsume2(int length, int maxNum) {
16     if(length <= maxNum)
17         return length;
18     int64 get_n_1 = getMinConsume2(length-1,maxNum);  //上一次的豆子消耗
19     return get_n_1 + ceil((double)(get_n_1-maxNum+1)/(maxNum-2)) * 2 + 1;
20 }
21 //非递归的实现方式
22 int64 getMinConsume_NoRecursive(int length, int maxNum) {
23     if(length <= maxNum)
24         return length;
25     int64 result = maxNum, i;
26     for(i=maxNum; i<length; i++)
27         result += (result-2)/(maxNum-2) * 2 + 1;
28     return result;
29 }
30
31 int main()
32 {
33     int maxNum=60, length;
34     for(length=50; length<201; length++)
35         cout<<length<<"米至少消耗"<<getMinConsume2(length,maxNum)<<"颗豆子!"<<endl;
36     return 0;
37 }
38
39 int main2()
40 {
41     while(1){
42         cout<<"请输入最大可带的豆子数量和桥的长度: ";
43         int maxNum, length;
44         if(!(cin>>maxNum>>length))
45             break;
46         cout<<"至少消耗"<<getMinConsume_NoRecursive(length,maxNum)<<"颗豆子!"<<endl;
47     }
48     return 0;
49 }