反常积分(1.反常积分概念)
定义:
无穷积分
设函数定义在无穷区间
上,且在任何有限区间
上可积,如果存在极限
(1)则称此极限
为函数
在
上的无穷反常积分(简称无穷积分),记作
并称
收敛,如果极限(1)不存在,为方便起见,称
发散。
瑕积分
设函数定义在区间
上,在点a的任一右邻域上无界,但在任何内闭区间
上有界且可积,如果存在极限
(2)则称此极限为无界函数
在
上的反常积分,记作
,并称反常积分
收敛,如果极限(2)不存在,反常积分
发散,点a称为
的瑕点,无界函数反常积分
又称为瑕积分。
典例
例1.讨论无穷积分的收敛性。
解:由于因此当p>1时收敛,其值为
当
时发散于
.
例2.讨论瑕积分的收敛性。
解:被积函数在(0,1]上连续,x=0为其瑕点。由于且
故当0<p<1时,瑕积分收敛于
当
时,瑕积分发散于
。
综上:反常积分是发散的。
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