洛谷 P2051 [AHOI2009]中国象棋【dp】

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题意：

有一张 n ∗ m n*m n∗m的图，在这其中放置若干象棋炮兵，在它们不会互相攻击的情况下，求有多少合法方案

分析：

因为题目中已经明确告诉我们是象棋炮兵，所以每一行和每一列都至多放置 2 2 2个炮兵
针对炮兵每行每列放置的数量极其有限，我们想出了方程 f i , j , k f_{i,j,k} fi,j,k，表示已经放好了前 i i i行，其中有 j j j列放了一个炮兵，有 k k k列放了两个炮兵
随着行数的递增，我们发现会有 5 5 5中可能的情况出现：
1. 1. 1.新的一行什么也不做：
f i , j , k + = f i − 1 , j , k f_{i,j,k}+=f_{i-1,j,k} fi,j,k+=fi−1,j,k
2. 2. 2.新的一行只放一个炮兵
( 1 ) \ (1) (1)我们在没有炮兵的一列放上，也就是多了一列放了一个炮兵的列：
f i , j + 1 , k + = f i − 1 , j , k ∗ ( m − j − k ) ( m − j − k > 0 ) f_{i,j+1,k}+=f_{i-1,j,k}*(m-j-k) (m-j-k>0) fi,j+1,k+=fi−1,j,k∗(m−j−k)(m−j−k>0)
( 2 ) \ (2) (2)我们在只有一个炮兵的列放上，也就是少了一列只放一个的，多了一个放两个的列：
f i , j − 1 , k + 1 + = f i − 1 , j , k ∗ j ( j > 0 ) f_{i,j-1,k+1}+=f_{i-1,j,k}*j(j>0) fi,j−1,k+1+=fi−1,j,k∗j(j>0)
3. 3. 3.新的一行放两个炮兵
( 1 ) \ (1) (1)两个都放在空列上，即多了两列只放一个的：
f i , j + 2 , k + = f i − 1 , j , k ∗ C m − j − k 2 ( m − j − k > 1 ) f_{i,j+2,k}+=f_{i-1,j,k}*C_{m-j-k}^2(m-j-k>1) fi,j+2,k+=fi−1,j,k∗Cm−j−k2(m−j−k>1)
( 2 ) \ (2) (2)两个都放在放了一个的上面，即少了两列只放一个的，多了两列放两个的：
f i , j − 2 , k + 2 + = f i − 1 , j , k ∗ C j 2 ( j > 1 ) f_{i,j-2,k+2}+=f_{i-1,j,k}*C_j^2(j>1) fi,j−2,k+2+=fi−1,j,k∗Cj2(j>1)
( 3 ) \ (3) (3)一个放在空列上，一个放在只有一个的上面：
f i , j , k + 1 + = f i − 1 , j , k ∗ j ∗ ( m − j − k ) ( j > 0 a n d m − j − k > 0 ) f_{i,j,k+1}+=f_{i-1,j,k}*j*(m-j-k)(j>0\ and\ m-j-k>0) fi,j,k+1+=fi−1,j,k∗j∗(m−j−k)(j>0 and m−j−k>0)

代码：

// luogu-judger-enable-o2
#include<cstdio>
#include<string>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define LL long long
#define LZX 9999973
using namespace std;
inline LL read() {LL d=0,f=1;char s=getchar();while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}while(s>='0'&&s<='9'){d=d*10+s-'0';s=getchar();}return d*f;
}
LL f[105][105][105];
LL C(LL x) {return x*(x-1)/2;}
int main()
{LL n=read(),m=read();f[0][0][0]=1;for(LL i=0;i<n;i++)for(LL j=0;j<=m;j++)for(LL k=0;k+j<=m;k++){(f[i+1][j][k]+=f[i][j][k])%=LZX;if(m-j-k) (f[i+1][j+1][k]+=f[i][j][k]*(m-j-k))%=LZX;if(j) (f[i+1][j-1][k+1]+=f[i][j][k]*j)%=LZX;if(m-j-k&&j) (f[i+1][j][k+1]+=f[i][j][k]*j*(m-j-k))%=LZX;if(m-j-k>1) (f[i+1][j+2][k]+=f[i][j][k]*C(m-j-k))%=LZX;if(j>1) (f[i+1][j-2][k+2]+=f[i][j][k]*C(j))%=LZX;}LL ans=0;for(LL i=0;i<=m;i++)for(LL j=0;j+i<=m;j++)(ans+=f[n][i][j])%=LZX;cout<<ans%LZX;return 0;
}

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