文章目录

【第1讲高等数学预备知识】
- 1.1 函数的概念与特性
- 1.2 函数的图像
- - 1.2.1 直角坐标系下的图像
  - 1.2.2 极坐标系下的图像
  - 1.2.3 参数方程
- 1.3 常用基础知识
- @【情报#1 】
【第2讲数列极限】
- 2.1 数列极限
- 2.2 求数列极限
- @【情报#2 】
【第3讲函数极限与连续性】
- 3.1 函数极限
- - 3.1.1 函数极限的概念
  - 3.1.2 函数极限的性质 & 运算规则
- 3.2 连续与间断
- @【情报#3 】
【第4讲一元函数微分学的概念与计算】
- 4.1 概念
- 4.2 导数与微分的计算
- @【情报#4 】

【第1讲高等数学预备知识】

1.1 函数的概念与特性

函数：自变量、因变量
反函数：严格单调函数必有反函数；有反函数的函数比一定是单调函数（分段の函数）；函数与反函数的图像、对称特点
复合函数
【函数的四种特性】：有界性、单调性、奇偶性、周期性
【函数の重要结论（7）】

1.2 函数的图像

1.2.1 直角坐标系下的图像

常见图像

基本初等函数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数
- 常数函数：作用：找交点个数、求分布函数
- 幂函数：图像，定义域、值域，常用幂函数，单调性（研究单调性简化计算）
- 指数函数：图像，定义域、值域，单调性，常用指数函数，极限，特殊函数值
- 对数函数：图像，定义域、值域，单调性，常用对数函数，极限，特殊函数值，常用公式（幂指函数）
- 三角函数：图像，定义域、值域，奇偶性，周期性，有界性，特殊函数值
  - 正弦函数&余弦函数
  - 正切函数&余切函数
- 反三角函数：图像，定义域、值域，单调性，奇偶性，有界性，性质
  - 反正弦函数&反余弦函数
  - 反正切函数&反余切函数
初等函数：
- 幂指函数
- 图像：极限、导数
分段函数：
- 绝对值函数
- 符号函数
- 取整函数：两个注意点

图像变换

平移变换：左右、上下
对称变换：x轴、y轴、原点、y=x、绝对值（x轴下方翻转、y轴右侧翻转）
伸缩变换：水平伸缩、垂直伸缩

1.2.2 极坐标系下的图像

描点法画常见图像:心形线、玫瑰线、阿基米德螺线、伯努利双纽线
直角坐标系观点画极坐标系下图像：
- 画直角系下r,θ图像
- 对应到极坐标系下

1.2.3 参数方程

摆线：外摆、平摆、内摆
星形线

1.3 常用基础知识

数列
- 等差数列：通项公式、前n项和Sn
- 等比数列：通项公式、前n项和Sn
- 常见数列前n项和：∑(k)、∑(k^2)、∑( 1/k(k+1) )
【三角函数】
- 三角函数基本关系
- 诱导公式
- 特殊的三角函数值
- 重要公式：倍角公式、半角公式、和差公式、积化和差公式/和差化积公式、万能公式
指数运算法则
对数运算法则
一元二次方程基础
因式分解公式
阶乘与双阶乘
【常用不等式】

@【情报#1 】

@ 神秘的数字0/1
@ 相同单调性替换放缩，简化计算
@ 连续不等式证明、“f-f” => 拉格朗日中值定理
"ε-N语言"证明极限 lim ⁡ x → ∞ q u = 0 \lim\limits_{x \to \infty}q^u = 0 x→∞limqu=0

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常用数学符号：∀，∃，δ

【第2讲数列极限】

2.1 数列极限

引言
数列极限定义：“ε-N语言”；数列收敛与其子列收敛的关系
收敛数列的性质：唯一性；有界性；保号性
极限运算规则
夹逼准则
单调有界准则

2.2 求数列极限

证明1/2：定义 / 性质；【三部曲 / ε语言】
- 数列极限定义：四要素
- 收敛数列性质：唯一性、有界性、保号性、推论
- 运算规则
证明3：【夹逼准则】
证明4：【单调有界准则】

@【情报#2 】

@：“δ-N语言”
子列法证明极限不存在
无界变量但不是无穷大量
@："∞-∞"型 => “n/(a+b)” 型
证明极限存在 => 求值
@：数学归纳法 / 相减法 / 创新法 => 求数列通项
@：单调有界准则证明数列极限
@：假设法证明数列单调性（假设的依据，假设为真的合理性）
有界数列的"界"不一定是极限
保号性的推论
@：裂项相消求极限
@：反证法求解通项【】
@：夹逼准则变式：x ≤ y ≤ z ， x < y = z
充分必要条件的理解
@："放缩+假设"法 => 确定数列上下界
@：定义法求解 limXn = A
arctanx < x
恒等变形
数列极限核心要点：有界、单调、极限值
@：脱帽 / 带帽公式
重点研究不等关系
@ 十大不等式
普遍规律：存在即唯一
@ 证明数列收敛思路：
- 证明An → 0，转化为| An | → 0
- 单调递推式 => 单调有界准则
证明1：①先写距离，另起＜ε ②反解除n的范围：n＞g(ε) ③取N=[ g(ε) ] + 1

【第3讲函数极限与连续性】

3.1 函数极限

数列极限重在证明
函数极限重在计算
微积分计算基础 → 函数极限

3.1.1 函数极限的概念

邻域
- 一维的情形：邻域，δ邻域，去心δ邻域，左、右δ邻域
- 二维的情形：邻域，δ邻域，去心δ邻域，左、右δ邻域
- δ邻域的几何意义；邻域与区间（区域）
函数极限的定义
- ε - δ 语言
- ε - X 语言
- 魏尔斯特拉斯，显微镜、望远镜
- 函数的单侧极限
- 函数极限存在的充要条件：左右极限存在且相等；等式脱帽法

3.1.2 函数极限的性质 & 运算规则

函数极限的性质：唯一性；局部有界性；局部保号性
【极限运算规则】
【夹逼准则】
【洛必达法则】：法则一、法则二
- 右存在 => 左存在；左存在 ≠> 右存在
- 不可用在离散情况（需要海涅定理调和）
【泰勒公式】
- 掌握重要函数的泰勒公式
- 掌握高阶无穷小计算规则（符号计算）
- 使用泰勒公式计算时，函数应展开的x次幂：①A / B：上下同阶原则 ②A - B：幂次最低原则
【归结原则/海涅定理】：①定义 ②意义：函数极限和数列极限可以相互转化
- 考点1（右→左）：取两个不同数列{Xn},{Yn}，来否定函数极限的存在性
- 考点2（左→右）：函数极限确定数列极限
无穷小比阶：无穷小定义
- 无穷小比阶：高阶无穷小、低阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k阶无穷小
- 并非任意两个无穷小可进行比阶 p39
- 无穷小运算规则：加减法、乘除法、非零常数相乘不影响阶数
- 【常用等价无穷小】：广义化 → 复合函数等价无穷小

3.2 连续与间断

连续点的定义：函数连续 → 函数极限求函数值
间断点的定义与分类：
- 第一类间断点：可去间断点/可补间断点、跳跃间断点
- 第二类间断点：无穷间断点、震荡间断点、其他间断点

@【情报#3 】

基础例题精解（题型）：
- 函数极限的性质：唯一性、局部有界性、局部保号性
- 七中未定式的计算：化简、判断类型、选择相应的方法计算
- 已知某一极限，求另一极限
- 已知极限，反求参数
- 无穷小比阶
- 函数的连续与间断
"ε-X"语言
海涅定理：证明x->0，lim[(1/x)sin(1/x)]不存在
@：常用等价无穷小
@：2个重要极限：①x->0，lim(sinx/x)=1 ②x->∞，(1+1/x)^x=e
连续函数在开（闭）区间有界定理（局部有界性）
七种未定式的计算方法：运算规则、夹逼准则、洛必达、泰勒、归结、创造无穷小量
等式脱帽法
“△头轻脚重” => 倒代换
x->0^-，lima[x]=-a，x->0⁺，lima[x]=0
∞ ≠ 不存在，无穷大是广义的数，特殊的（不）存在
存在即数值
求极限 -> 存在极限（可以不证明）
@：等价变形凑公式：ln(sinx/x) = ln(1+sinx/x)
局部有界性：[ ]连续 => 有界，有界 ≠> ()连续
自变量趋向的双向性

f(x)有极限 => f(x)有界 ≠> f(x)有极限
局部保号性的证明题，取ε=A/2

【第4讲一元函数微分学的概念与计算】

4.1 概念

引例：平均变化率、瞬时变化率（速度）、切线、极限位置、切线的斜率
导数的概念：
- 可导、导数、导数的写作、增量式、差值式
- 单侧导数：左导数、右导数
- 可导的充分必要条件
- 单侧切线
- 无穷级数
微分的概念：微分、可微的判别、可微的含义、充要条件、可微的几何意义

4.2 导数与微分的计算

四则运算：①和、差的导数（微分）；②积的导数（微分）；③商的导数（微分）
分段函数的导数：定义法、公式法
复合函数的导数与微分形式不变形
反函数的导数
参数方程所确定的函数的导数
隐函数求导法
对数求导法
幂指函数求导法
高阶导数：归纳法、高阶求导公式、泰勒公式
变限积分求导公式
基本求导公式

@【情报#4 】

基础例题精解（例题）
- 概念类
- 计算类
x=0处可导，x₀处可导 => 极限可拆；x₀处不可导 => 极限不可拆
f(x)在x=x₀处连续，且x->x₀, lim f(x)/x-x₀=A => f(x₀)=0，f’(x) =A
考察△x->0, lim (△y-dy)/dy

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【高等数学】基础知识点梳理（张宇2024版）

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【第1讲高等数学预备知识】

1.1 函数的概念与特性

1.2 函数的图像

1.2.1 直角坐标系下的图像

1.2.2 极坐标系下的图像

1.2.3 参数方程

1.3 常用基础知识

@【情报#1 】

【第2讲数列极限】

2.1 数列极限

2.2 求数列极限

@【情报#2 】

【第3讲函数极限与连续性】

3.1 函数极限

3.1.1 函数极限的概念

3.1.2 函数极限的性质 & 运算规则

3.2 连续与间断

@【情报#3 】

【第4讲一元函数微分学的概念与计算】

4.1 概念

4.2 导数与微分的计算

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【 第1讲 高等数学预备知识 】

1.1 函数的概念与特性

1.2 函数的图像

1.2.1 直角坐标系下的图像

1.2.2 极坐标系下的图像

1.2.3 参数方程

1.3 常用基础知识

@【 情报#1 】

【 第2讲 数列极限 】

2.1 数列极限

2.2 求数列极限

@【 情报#2 】

【 第3讲 函数极限与连续性 】

3.1 函数极限

3.1.1 函数极限的概念

3.1.2 函数极限的性质 & 运算规则

3.2 连续与间断

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【 第4讲 一元函数微分学的概念与计算 】

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