1.傅里叶变换与频域

在之前的文中，我们已经进行过一些基本的图像处理。比如，使用低通滤波可以将图像模糊，也有些许降噪的作用。这些都是在空间域内进行的滤波处理，这个处理主要是依靠卷积来进行计算的。首先，从连续的一维卷积入手，如下所示。

将上式进行傅里叶变换，可以得到如下结果。

从这个式子，我们可以得到一个重要的结论。也就是，函数与卷积的傅里叶变换所得到的结果，是函数与的傅里叶变换与的乘积。再将其总结得简单易懂一些，有如下结论。

在将其扩展到二维的形况下，假设尺寸为MxN的图像，如下关系是成立的。

其实到这，基本的原理就明了的。我们所看到的图像，均为空间域内的表现形式，我们无法辨识出频域内的图像。要进行频域内的滤波器处理，首先就需要进行傅里叶变换，然后直接进行滤波处理，最后再用反傅里叶变换倒回到空间域内。

到此，已经可以开始空间域内的滤波处理了。但是，还有一点需要注意的地方。使用某个一维信号来举例子，一维信号的傅里叶变换是以2π为周期的函数。所以，我们常常使用的范围[-π,π]来表示这个信号的傅里叶变换，如下所示。

这样做的好处是，靠近0的成分就是低频，靠近-π与π的成分就表示高频。而对于图像而言，在Matlab中，我们使用fft2()这个函数来求取图像的傅里叶变换。

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  1. g = fft2(f);

上面这个代码求取的，其实是范围[0,π]内的傅里叶变换。为了方便理解，下图画出了本行代码所求取的图像的傅里叶变换的范围（右）和与其等效的一维傅里叶变换的范围（左）。

很显然，这并不是希望的范围，下面这个代码可以求取[0,2π]内的傅里叶变换。

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  1. P = 2*M;
  2. Q = 2*N;
  3. F = fft2(f,P,Q);

下图画出了本行代码所求取的图像的傅里叶变换的范围（右）和与其等效的一维傅里叶变换的范围（左）。所得到的图像F(u,v)的尺寸为PxQ。

我们需要对其移动一下，如下图所示，我们需要的是粉色范围的区域。

下面，从数学上分析一下，如何获得这个部分的频谱。对于傅里叶变换，有如下性质。

这个特性称为平移特性，粉色部分的频谱，将带入上式，我们可以得到如下式子。

为次，我们已经得到了粉色范围的频谱。越靠近傅里叶频谱图像中间的成分，代表了低频成分。其Matlab代码如下所示。

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  1. [M,N] = size(f);
  2. P = 2*M;
  3. Q = 2*N;
  4. fc = zeros(M,N);
  5. for x = 1:1:M
  6. for y = 1:1:N
  7. fc(x,y) = f(x,y) * (-1)^(x+y);
  8. end
  9. end
  10. F = fft2(fc,P,Q);

代码所得到的结果，如下图所示。

接下来，我们总结一下频域滤波的步骤：

①：先将图像做频域内的水平移动，然后求原图像f(x,y)的DFT，得到其图像的傅里叶谱F(u,v)。

②：与频域滤波器做乘积，

③：求取G(u,v)的IDFT，然后再将图像做频域内的水平移动（移动回去），其结果可能存在寄生的虚数，此时忽略即可。

④：这里使用ifft2函数进行IDFT变换，得到的图像的尺寸为PxQ。切取左上角的MxN的图像，就能得到结果了。

2.低通滤波器

2.1理想的低通滤波器

其中，D0表示通带的半径。D(u,v)的计算方式也就是两点间的距离，很简单就能得到。

使用低通滤波器所得到的结果如下所示。低通滤波器滤除了高频成分，所以使得图像模糊。由于理想低通滤波器的过度特性过于急峻，所以会产生了振铃现象。

2.2巴特沃斯低通滤波器

同样的，D0表示通带的半径，n表示的是巴特沃斯滤波器的次数。随着次数的增加，振铃现象会越来越明显。

2.3高斯低通滤波器

D0表示通带的半径。高斯滤波器的过度特性非常平坦，因此是不会产生振铃现象的。

3.实现代码

   123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

close all;

clear all;

%% ---------Butterworth Lowpass Filters (Fre. Domain)------------

f = imread('characters_test_pattern.tif');

f = mat2gray(f,[0 255]);

[M,N] = size(f);

P = 2*M;

Q = 2*N;

fc = zeros(M,N);

for x = 1:1:M

for y = 1:1:N

fc(x,y) = f(x,y) * (-1)^(x+y);

end

end

F = fft2(fc,P,Q);

H_1 = zeros(P,Q);

H_2 = zeros(P,Q);

for x = (-P/2):1:(P/2)-1

for y = (-Q/2):1:(Q/2)-1

D = (x^2 + y^2)^(0.5);

D_0 = 100;

H_1(x+(P/2)+1,y+(Q/2)+1) = 1/(1+(D/D_0)^2);

H_2(x+(P/2)+1,y+(Q/2)+1) = 1/(1+(D/D_0)^6);

end

end

G_1 = H_1 .* F;

G_2 = H_2 .* F;

g_1 = real(ifft2(G_1));

g_1 = g_1(1:1:M,1:1:N);

g_2 = real(ifft2(G_2));

g_2 = g_2(1:1:M,1:1:N);

for x = 1:1:M

for y = 1:1:N

g_1(x,y) = g_1(x,y) * (-1)^(x+y);

g_2(x,y) = g_2(x,y) * (-1)^(x+y);

end

end

%% -----show-------

figure();

subplot(1,2,1);

imshow(f,[0 1]);

xlabel('a).Original Image');

subplot(1,2,2);

imshow(log(1 + abs(F)),[ ]);

xlabel('b).Fourier spectrum of a');

figure();

subplot(1,2,1);

imshow(H_1,[0 1]);

xlabel('c)Butterworth Lowpass (D_{0}=100,n=1)');

subplot(1,2,2);

h = mesh(1:20:P,1:20:Q,H_1(1:20:P,1:20:Q));

set(h,'EdgeColor','k');

axis([0 P 0 Q 0 1]);

xlabel('u');ylabel('v');

zlabel('|H(u,v)|');

figure();

subplot(1,2,1);

imshow(log(1 + abs(G_1)),[ ]);

xlabel('d).Result of filtering using c');

subplot(1,2,2);

imshow(g_1,[0 1]);

xlabel('e).Result image');

figure();

subplot(1,2,1);

imshow(H_2,[0 1]);

xlabel('f).Butterworth Lowpass (D_{0}=100,n=3)');

subplot(1,2,2);

h = mesh(1:20:P,1:20:Q,H_2(1:20:P,1:20:Q));

set(h,'EdgeColor','k');

axis([0 P 0 Q 0 1]);

xlabel('u');ylabel('v');

zlabel('|H(u,v)|');

figure();

subplot(1,2,1);

imshow(log(1 + abs(G_2)),[ ]);

xlabel('g).Result of filtering using e');

subplot(1,2,2);

imshow(g_2,[0 1]);

xlabel('h).Result image');

来自CODE的代码片

Butterworth_Lowpass_Filters.m

   123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100101102103

close all;

clear all;

clc;

%% ---------Gaussian Lowpass Filters (Fre. Domain)------------

f = imread('characters_test_pattern.tif');

f = mat2gray(f,[0 255]);

[M,N] = size(f);

P = 2*M;

Q = 2*N;

fc = zeros(M,N);

for x = 1:1:M

for y = 1:1:N

fc(x,y) = f(x,y) * (-1)^(x+y);

end

end

F = fft2(fc,P,Q);

H_1 = zeros(P,Q);

H_2 = zeros(P,Q);

for x = (-P/2):1:(P/2)-1

for y = (-Q/2):1:(Q/2)-1

D = (x^2 + y^2)^(0.5);

D_0 = 60;

H_1(x+(P/2)+1,y+(Q/2)+1) = exp(-(D*D)/(2*D_0*D_0));

D_0 = 160;

H_2(x+(P/2)+1,y+(Q/2)+1) = exp(-(D*D)/(2*D_0*D_0));

end

end

G_1 = H_1 .* F;

G_2 = H_2 .* F;

g_1 = real(ifft2(G_1));

g_1 = g_1(1:1:M,1:1:N);

g_2 = real(ifft2(G_2));

g_2 = g_2(1:1:M,1:1:N);

for x = 1:1:M

for y = 1:1:N

g_1(x,y) = g_1(x,y) * (-1)^(x+y);

g_2(x,y) = g_2(x,y) * (-1)^(x+y);

end

end

%% -----show-------

close all;

figure();

subplot(1,2,1);

imshow(f,[0 1]);

xlabel('a).Original Image');

subplot(1,2,2);

imshow(log(1 + abs(F)),[ ]);

xlabel('b).Fourier spectrum of a');

figure();

subplot(1,2,1);

imshow(H_1,[0 1]);

xlabel('c)Gaussian Lowpass (D_{0}=60)');

subplot(1,2,2);

h = mesh(1:20:P,1:20:Q,H_1(1:20:P,1:20:Q));

set(h,'EdgeColor','k');

axis([0 P 0 Q 0 1]);

xlabel('u');ylabel('v');

zlabel('|H(u,v)|');

figure();

subplot(1,2,1);

imshow(log(1 + abs(G_1)),[ ]);

xlabel('d).Result of filtering using c');

subplot(1,2,2);

imshow(g_1,[0 1]);

xlabel('e).Result image');

figure();

subplot(1,2,1);

imshow(H_2,[0 1]);

xlabel('f).Gaussian Lowpass (D_{0}=160)');

subplot(1,2,2);

h = mesh(1:20:P,1:20:Q,H_2(1:20:P,1:20:Q));

set(h,'EdgeColor','k');

axis([0 P 0 Q 0 1]);

xlabel('u');ylabel('v');

zlabel('|H(u,v)|');

figure();

subplot(1,2,1);

imshow(log(1 + abs(G_2)),[ ]);

xlabel('g).Result of filtering using e');

subplot(1,2,2);

imshow(g_2,[0 1]);

xlabel('h).Result image');

来自CODE的代码片

Gaussian_Lowpass_Filters.m

  1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768697071727374757677787980818283848586878889909192939495969798

close all;

clear all;

%% ---------Ideal Lowpass Filters (Fre. Domain)------------

f = imread('characters_test_pattern.tif');

f = mat2gray(f,[0 255]);

[M,N] = size(f);

P = 2*M;

Q = 2*N;

fc = zeros(M,N);

for x = 1:1:M

for y = 1:1:N

fc(x,y) = f(x,y) * (-1)^(x+y);

end

end

F = fft2(fc,P,Q);

H_1 = zeros(P,Q);

H_2 = zeros(P,Q);

for x = (-P/2):1:(P/2)-1

for y = (-Q/2):1:(Q/2)-1

D = (x^2 + y^2)^(0.5);

if(D <= 60) H_1(x+(P/2)+1,y+(Q/2)+1) = 1; end

if(D <= 160) H_2(x+(P/2)+1,y+(Q/2)+1) = 1; end

end

end

G_1 = H_1 .* F;

G_2 = H_2 .* F;

g_1 = real(ifft2(G_1));

g_1 = g_1(1:1:M,1:1:N);

g_2 = real(ifft2(G_2));

g_2 = g_2(1:1:M,1:1:N);

for x = 1:1:M

for y = 1:1:N

g_1(x,y) = g_1(x,y) * (-1)^(x+y);

g_2(x,y) = g_2(x,y) * (-1)^(x+y);

end

end

%% -----show-------

figure();

subplot(1,2,1);

imshow(f,[0 1]);

xlabel('a).Original Image');

subplot(1,2,2);

imshow(log(1 + abs(F)),[ ]);

xlabel('b).Fourier spectrum of a');

figure();

subplot(1,2,1);

imshow(H_1,[0 1]);

xlabel('c).Ideal Lowpass filter(D=60)');

subplot(1,2,2);

h = mesh(1:20:P,1:20:Q,H_1(1:20:P,1:20:Q));

set(h,'EdgeColor','k');

axis([0 P 0 Q 0 1]);

xlabel('u');ylabel('v');

zlabel('|H(u,v)|');

figure();

subplot(1,2,1);

imshow(log(1 + abs(G_1)),[ ]);

xlabel('d).Result of filtering using c');

subplot(1,2,2);

imshow(g_1,[0 1]);

xlabel('e).Result image');

figure();

subplot(1,2,1);

imshow(H_2,[0 1]);

xlabel('f).Ideal Lowpass filter(D=160)');

subplot(1,2,2);

h = mesh(1:20:P,1:20:Q,H_2(1:20:P,1:20:Q));

set(h,'EdgeColor','k');

axis([0 P 0 Q 0 1]);

xlabel('u');ylabel('v');

zlabel('|H(u,v)|');

figure();

subplot(1,2,1);

imshow(log(1 + abs(G_2)),[ ]);

xlabel('g).Result of filtering using e');

subplot(1,2,2);

imshow(g_2,[0 1]);

xlabel('h).Result image');

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